Aufgabe:
Die Riemannsche Zeta-Funktion wird definiert durch die Reihe
ζ(s)= ∑k=1∞1ks \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k^s}} k=1∑∞ks1
für alle s ∈ ℝ, s > 1. Zeigen Sie, dass ζ(n) < 2 für alle natürlichen Zahlen n ≥ 2.Hinweis: Betrachten Sie zuerst
∑n=2∞ \sum\limits_{n=2}^{\infty}{} n=2∑∞∑k=2∞1kn \sum\limits_{k=2}^{\infty}{\frac{1}{k^n}} k=2∑∞kn1
Es ist∑n=2∞∑k=2∞1kn=∑k=2∞∑n=2∞(1k)n=∑k=2∞(11−1/k−1−1/k)=∑k=2∞1k2−k=\sum_{n=2}^{\infty}\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k^n}=\sum_{k=2}^{\infty}\sum_{n=2}^{\infty}(\frac{1}{k})^n=\sum_{k=2}^{\infty}(\frac{1}{1-1/k}-1-1/k)=\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k^2-k}=n=2∑∞k=2∑∞kn1=k=2∑∞n=2∑∞(k1)n=k=2∑∞(1−1/k1−1−1/k)=k=2∑∞k2−k1=∑k=2∞(1k−1−1k)=1\sum_{k=2}^{\infty}(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k})=1k=2∑∞(k−11−k1)=1da Teleskopsumme.
Hieraus folgtζ(n)=∑k=1∞1kn=1+∑k=2∞1kn<1+1=2\zeta(n)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^n}=1+\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k^n}\lt 1+1=2ζ(n)=k=1∑∞kn1=1+k=2∑∞kn1<1+1=2q.e.d.
Ein anderes Problem?
Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos
