Lösung mittels Partialbruchzerlegung durch die Einsetzmethode:
Ansatz:
\( \frac{1}{(x-1)^{2}\left(x^{2}+1\right)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^{2}}+\frac{Cx+D}{x^{2}+1} \)
1=A(x-1)(x^2+1)+B(x^2+1)+(Cx+D)(x-1)^2
x1=1: 1= B*2 ; B=1/2
x2=0(frei wählbar) : 1 =-A +1/2 +D ->1/2=-A+D
x3= i : 1=(Ci+D)(i-1)^2
x4= -i: 1=(-Ci+D)(-i-1)^2
->C=1/2; D=0; A=-1/2
----->
=\( \frac{1}{(x-1)^{2}\left(x^{2}+1\right)}=\frac{x}{2\left(x^{2}+1\right)}-\frac{1}{2(x-1)}+\frac{1}{2(x-1)^{2}} \)
diese 3 Integrale müssen dann noch integriert werden:
Lösung:
=\( \frac{\ln \left(x^{2}+1\right)}{4}-\frac{1}{2 x-2}-\frac{\ln (|x-1|)}{2}+C \)
