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Bestimmen Sie das Integral

  \int\  dx(x22x+1)(x2+1) \frac{dx}{(x^2-2x+1)(x^2+1)}

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Lösung mittels Partialbruchzerlegung durch die Einsetzmethode:

Ansatz:

1(x1)2(x2+1)=Ax1+B(x1)2+Cx+Dx2+1 \frac{1}{(x-1)^{2}\left(x^{2}+1\right)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^{2}}+\frac{Cx+D}{x^{2}+1}

1=A(x-1)(x2+1)+B(x2+1)+(Cx+D)(x-1)2

x1=1: 1= B*2 ; B=1/2

x2=0(frei wählbar) : 1 =-A +1/2 +D ->1/2=-A+D

x3= i : 1=(Ci+D)(i-1)2

x4= -i: 1=(-Ci+D)(-i-1)2

->C=1/2; D=0; A=-1/2

----->

=1(x1)2(x2+1)=x2(x2+1)12(x1)+12(x1)2 \frac{1}{(x-1)^{2}\left(x^{2}+1\right)}=\frac{x}{2\left(x^{2}+1\right)}-\frac{1}{2(x-1)}+\frac{1}{2(x-1)^{2}}

diese 3 Integrale müssen dann noch integriert werden:

Lösung:

=ln(x2+1)412x2ln(x1)2+C \frac{\ln \left(x^{2}+1\right)}{4}-\frac{1}{2 x-2}-\frac{\ln (|x-1|)}{2}+C

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Hallo

zerlege in 1/2*(x/(x2+1)-1/(x-1)+1/(x-1)2) dann ist es einfach

Gruß lul

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