Bestimmen Sie das Integral (mit Bruch)

Question

Bestimmen Sie das Integral

$\int\$ $\frac{dx}{(x^2-2x+1)(x^2+1)}$

Answer 1

Lösung mittels Partialbruchzerlegung durch die Einsetzmethode:

Ansatz:

$\frac{1}{(x-1)^{2}\left(x^{2}+1\right)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^{2}}+\frac{Cx+D}{x^{2}+1}$

1=A(x-1)(x²+1)+B(x²+1)+(Cx+D)(x-1)²

x₁=1: 1= B*2 ; B=1/2

x₂=0(frei wählbar) : 1 =-A +1/2 +D ->1/2=-A+D

x₃= i : 1=(Ci+D)(i-1)²

x₄= -i: 1=(-Ci+D)(-i-1)²

->C=1/2; D=0; A=-1/2

----->

=$\frac{1}{(x-1)^{2}\left(x^{2}+1\right)}=\frac{x}{2\left(x^{2}+1\right)}-\frac{1}{2(x-1)}+\frac{1}{2(x-1)^{2}}$

diese 3 Integrale müssen dann noch integriert werden:

Lösung:

=$\frac{\ln \left(x^{2}+1\right)}{4}-\frac{1}{2 x-2}-\frac{\ln (|x-1|)}{2}+C$

Answer 2

Hallo

zerlege in 1/2*(x/(x²+1)-1/(x-1)+1/(x-1)²) dann ist es einfach

Gruß lul