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Aufgabe:

Zeigen sie: Wenn für eine Folge (an)n(a_n)_n in R die Reihe n=0an\sum _ { n = 0 } ^ { \infty } | a _ { n } | konvergiert, so gilt dies auch für n=0an2\sum _ { n = 0 } ^ { \infty } a^2 _ { n }



Problem/Ansatz:

Moin, kann mir jemand bei der Aufgabe helfen? Mir ist zwar bewusst, wann eine Reihe konvertiert, allerdings weiß ich nicht, wie ich dass dass hier beweisen soll.

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Titel: Zeigen sie: Wenn für eine Folge (a_n)_n in R die Reihe Σ _ { n = 0 } ^ { ∞ } | a _ { n } | konvergiert, so gilt dies …

Stichworte: konvergenz,reihen,grenzwert,folge,summe

Aufgabe:

Zeigen sie: Wenn für eine Folge (a_n)_n in R die Reihe \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } | a _ { n } | konvergiert, so gilt dies auch für \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } a2 _ { n }




Problem/Ansatz:

Moin, kann mir jemand bei der Aufgabe helfen? Mir ist zwar bewusst, wann eine Reihe konvertiert, allerdings weiß ich nicht, wie ich dass dass hier beweisen soll.

Frage und Antwort findest du nun in der mathelounge (gleiches Login): https://www.mathelounge.de/900858/zeigen-sie-wenn-eine-folge-an-die-… Frohe Festtage

2 Antworten

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Wenn die Reihe n=0an\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\,\lvert a_n\rvert  konvergiert, dann ist insbesondere die Folge {an}\lbrace\lvert a_n\lvert\rbrace eine Nullfolge. Es existiert also ein NNN\in\mathbb N mit an<1\lvert a_n\rvert<1 für alle nNn\in\mathbb N mit nNn\ge N. Es folgtn=Nan2=n=Nanann=N1an.\sum_{n=N}^\infty a_n^2=\sum_{n=N}^\infty\,\lvert a_n\rvert\cdot\lvert a_n\rvert\le\sum_{n=N}^\infty1\cdot\lvert a_n\rvert.Damit hat man eine konvergente Majorante.

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Hey, danke für deine Hilfe. Warum ist die Folge { |a_n|} genau eine Nullfolge?

Es gilt allgemein für konvergente Reihen, dass die Summanden eine Nullfolge bilden. Da die Reihe ∑ |an| nach Voraussetzung konvergent ist, muss also {|an|} eine Nullfolge sein.
Siehe dazu auch Trivialkriterium oder Divergenzkriterium.

Achso OK, danke.

Könntest du vielleicht den zweiten Teil ab "Es existiert also ein ..." Inklusive der Folgerung etwas genauer (ggf. Mit mehr schritten) erklären? Verstehe nicht so ganz, was du meinst.

Dazu greift man auf die unmittelbare Definition für Folgenkonvergenz zurück:

a ist Grenzwert einer Folge an, falls es zu jedem ε > 0 ein N ∈ ℕ gibt, so dass |an - a| < ε für alle n ≥ N ist.

Hier ist a = 0. Wähle ε = 1. Dann ist |an| < 1 für alle hinreichend große n.

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Wenn n=0an\sum _ { n = 0 } ^ { \infty } | a _ { n } | konvergiert, dann ist (an)nN(|a_n|)_{n\in\mathbb{N}} eine Nullfolge und somit ist an<1|a_n| < 1 für alle bis auf endlich viele nNn\in\mathbb{N}.

Ist an<1|a_n| < 1, dann ist 0an2an0\leq a_n^2 \leq |a_n|.

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