Untersuchen Sie die Reihe mit den Summanden n2 / 2n auf Konvergenz usw.

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz, absolute Konvergenz oder Divergenz:

∑∞_n=0  n²/2ⁿ

Comments

2ⁿ wächst schneller als n² -> Konvergenz

2ⁿ > n²

gilt ab n> 4

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Du benutzt hier stillschweigend, dass "exponentielles Wachstum jedes Wachstum von Potenzen schlägt". Was aber in typischen Übungsaufgaben erst mal gezeigt werden muss.

n² wächst auch "stärker" als n. Das genügt aber nicht als Argument bei Reihen. Vgl. "harmonische Reihe".

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Nein, ich meinte nur diesen Fall. :)

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Dann sende ich diesen Kommentar jetzt doch noch, wollte es mir eigentlich verkneifen:

"2n² wächst schneller als n²,

konvergiert die Reihe ∑ n²/(2n²) dann auch?"

Kann nicht nachvollziehen, warum der kritische Hinweis von Gast hj (alleine) gelöscht wurde!

Answer 1

Hallo

versuch einfach die 2 Konvergenz Kriterien Wurzel und Quotient .

Gruß lul

Answer 2

Aloha :)

Die Summanden sind $a_n\coloneqq\frac{n^2}{2^n}$. Betrachte den Quotienten:$$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{\frac{(n+1)^2}{2^{n+1}}}{\frac{n^2}{2^n}}\right|=\frac{(n+1)^2}{2^{n+1}}\cdot\frac{2^n}{n^2}=\frac{2^n}{2^{n+1}}\cdot\frac{(n+1)^2}{n^2}=\frac{\cancel{2^n}}{\cancel{2^n}\cdot2}\cdot\left(\frac{n+1}{n}\right)^2=\frac12\left(1+\frac1n\right)^2$$Das Ergebnis wird mit wachsendem $n$ immer kleiner. Für $n\ge3$ ist es bereits $\le\frac89<1$.

Daher konvergiert die Reihe nach dem Quotientenkriterium.

Answer 3

Wurzelkriterium:

$$\lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{\frac{n^2}{2^n}}=\frac{1}{2}\lim \sqrt[n]{n}\lim \sqrt[n]{n}=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1<1$$