Winkel zwischen Vektoren berechnen

Question

Aufgabe:

Es ist so ein Dreieck gegeben:

Und ich soll die drei Winkel berechnen.

Vor ab: Mir geht es nicht um die Lösung, sondern um den Lösungsweg. Ich habe bereits 2 Wege probiert, die falsch sein sollen (auch wenn beide Wege mir identische Lösungen liefern).

Also: 1) habe ich b * c / |b| * |c| berechnet und

2) AB * AC / |AB| * |AC|

Beides hatte das gleiche Ergebnis (43, 09°) und soll wohl falsch sein. Was übersehe ich?

Comments

Bei Deinem Lösungsversuch fehlen Klammern um den Nenner.

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Hallo,

43,09°+136,91°=180°

Vermutlich hast du das negative Vorzeichen beim Skalarprodukt übersehen.

Tschaka: -4/√(30) richtig

Du: +4/√(30) falsch

:-)

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Du musst darauf achten, dass beide Vektoren vom gleichen Punkt ausgehen:

$$\cos\alpha=\frac{\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}}{\overline{AC}\cdot\overline{AB}}=\frac{(\vec c-\vec a)\cdot(\vec b-\vec a)}{|\vec c-\vec a|\cdot|\vec b-\vec a|}=\frac{\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\-2\end{pmatrix}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{6}}=\frac{-4}{\sqrt{30}}\approx-0,7303$$$$\alpha\approx136,91^\circ$$$$\cos\beta=\frac{\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}}{\overline{BA}\cdot\overline{BC}}=\frac{(\vec a-\vec b)\cdot(\vec c-\vec b)}{|\vec a-\vec b|\cdot|\vec c-\vec b|}=\frac{\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3\\-1\\3\end{pmatrix}}{\sqrt{6}\cdot\sqrt{19}}=\frac{10}{\sqrt{114}}\approx0,9366$$$$\beta\approx20,51^\circ$$$$\cos\gamma=\frac{\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}}{\overline{CA}\cdot\overline{CB}}=\frac{(\vec a-\vec c)\cdot(\vec b-\vec c)}{|\vec a-\vec c|\cdot|\vec b-\vec c|}=\frac{\begin{pmatrix}-2\\0\\-1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-3\\1\\-3\end{pmatrix}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{19}}=\frac{9}{\sqrt{95}}\approx0,9234$$$$\gamma\approx22,57^\circ$$

Comments

Sollte es nicht heißen γ ≈ 22,57°?