zwei Gerade im Raum und ihr Schnittwinkel

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Koordinate y so, dass die Punkte A(1; 0; 2), B(2; 1; 4), C(5; y; 10) auf einer Geraden g liegen und geben Sie die Gleichung dieser Geraden an.

Geben Sie die Gleichung der Geraden g₁ an, die den Punkt A enthält und die x-Achse an der Stelle x=3 schneidet.

Bestimmen Sie den Schnittwinkel zwischen g und g₁.

Problem/Ansatz:

Probleme mit der Aufgabe :(

Verständnisprobleme

Answer 1

Hallo und willkommen in der Mathelounge,

stelle zunächst die Gleichung der Geraden durch die Punkte A und B auf:

$g: \;\vec{x}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 2\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{l}2-1 \\ 1-0 \\ 4-2\end{array}\right)$

$g:\; \vec{x} =\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 2\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right)$

Koordinaten von C einsetzen:

$\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 2\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}5 \\ y \\ 10\end{array}\right)$

Die 1. und 3. Zeile liefern:

1 + r = 5 ⇒ r = 4

2 + 2r = 10 ⇒ r = 4

Setze 4 für r in die 2. Zeile ein: 0 + 4 = y

Also hat C die Koordinaten (5|4|10)

Der Schnittpunkt mit der x-Achse hat die Koordinaten P (3|0|0)

Aufstellen der Geradengleichung durch A und P

$g_{1}: \;\vec{x}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 2\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}2 \\ 0 \\ -2\end{array}\right)$

Der Winkel zwischen den Richtungsvektoren der Geraden kannst du bestimmen mit

$\cos (\alpha)=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}$

$\vec{a} \cdot \vec{b}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ -2\end{array}\right)= 1\cdot2+1\cdot 0+2\cdot (-2)=-2$

$|\vec{a}|=\sqrt{1^{2}+1^{2}+2^{2}}=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}$
$|\vec{b}|=\sqrt{2^{2}+0^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{4+0+4}=\sqrt{8}$

$cos(\alpha)=\frac{-2}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{8}}=-\frac{\sqrt{3}}{6}\\\alpha=arccos(-\frac{\sqrt{3}}{6})=106,78°$

Melde dich, falls du dazu noch Fragen hast.

Gruß, Silvia

Comments

Vielen lieben Dank ! War schon echt am verzweifeln

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Super verständlich erklärt, konnte alle Schritte nachvollziehen! Vielen lieben Dank :)

Answer 2

Hallo,

Richtungsvektor u=AB=[1;1;2]

g: x=[1;0;2] + r*[1;1;2]

OA+4u=OC → y=4

zu g1:

Zweiter Punkt P(3|0|0)

Richtungsvektor v=[2;0;-2]

g1: x=[1;0;2] +r*[2;0;-2]

:-)