Geben Sie die Stammfunktion der Funktion g(x)

Question

kann mir jemand die einzelnen Schritte sagen wie ich auf die Stammfunktion von g(x) = a*x*e^2 + x / (1+x^2)^3 komme?

Die Lösung ist  G(x) = 1/2a*x^2*e^2 - 1 / (4(1+x^2)^2) + c

Danke schonmal:)

Answer 1

Hi,

der erste Summand sollte klar sein. a und e² werden einfach als konstant betrachtet.

Für den zweiten Summanden:

 

$$f(x) = \frac{x}{(1+x^2)^3}$$

Substituieren \(1+x^2 = u\) und damit \(du = 2x\; dx\)

$$F(x) = \frac12\int\frac{1}{u^3}\; du = -\frac{1}{4u^2} + c = -\frac{1}{4(x^2+1)^2} + c$$

 

Das dann zusammenfassen und wir erhalten G(x):

$$G(x) = \frac12ax^2e^2-\frac{1}{4(x^2+1)^2} + c$$

 

Grüße