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Aufgabe:

Zeigen Sie, dass "≤" eine Ordnungsrelation auf ℤ ist.


Problem/Ansatz:

Kann mir jemand dabei helfen?

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Wie ist denn "\(\leq\)" in \(\mathbb{Z}\) bei euch definiert?

In der Aufgabe steht: Wir definieren auf der Menge ℤ durch [m,n]  ≤  [m',n'] ⇔ m+n' ≤ m'+n eine Relation "≤". Meinst du das?

Ja. Das meinte ich.

und wie zeige ich das nun? :)

1 Antwort

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Beste Antwort

Das Ganze ist recht aufwändig.

Eigentlich müsste man vorab zeigen, dass die Definition der Relation

wohldefiniert ist.

Ich zeige aber hier als Beispiel nur die Transitivität, also:

\([m,n]\leq[m',n']\;\wedge \; [m',n']\leq [m'',n'']\Rightarrow [m,n]\leq [m'',n'']\).

Die Prämisse besagt:

\(m+n'\leq m'+n\;\wedge\; m'+n''\leq m''+n'\).

Addition der beiden Ungleichungen ergibt:

\((m+n'')+(m'+n')\leq (m''+n)+(m'+n')\quad (*)\).

Nun gilt in \(\mathbb{N}\) die "Kürzungsregel" \(a+c\leq b+c\Rightarrow a\leq b\).

Auf \((*)\) angewendet folgt: \(m+n''\leq m''+n\), also

\([m,n]\leq [m'',n'']\).

Die Antisymmetrie folgt ähnlich ...

Ob die Totalität gezeigt werden muss, musst du schauen.

Die Reflexivität ist trivial.

So, nun guck dir das in Ruhe alles an, versuche es zu verstehen

und mache dich über die Antisymmetrie selbständig her ;-)

Avatar von 29 k

Dankeschönnnn!!! :-))

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