Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte mithilfe von Potenzreihen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte mithilfe von Potenzreihen:

1 -) lim _x→0  (e^x - sin(x) - 1) / x²

2 -) lim _x→0    (x.sin(x)) / cos(x) -1

Problem/Ansatz: die folgenden Grenzwerte mithilfe von Potenzreihen bestimmen.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Grenzwerte mit Hilfe von Potenzreihen herausfinden

Stichworte: potenzreihe,grenzwert,limes

Aufgabe:

Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte mithilfe von Potenzreihen:

(a) $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x}-\sin (x)-1}{x^{2}}$,

(b) $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x \sin (x)}{\cos (x)-1}$

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht ganz, wie man das mit der Potenzreihe machen soll. Vielleicht könnt ihr mir da weiter helfen

Answer 1

1)

ex = 1 + x + $\frac{x^{2}}{2!}$+ $\frac{x^{3}}{3!}$ + $\frac{x^{4}}{4!}$ + ....

sin x = x - $\frac{x^{3}}{3!}$+ $\frac{x^{5}}{5!}$ - ...

Zähler = 1 + x + $\frac{x^{2}}{2}$+ $\frac{x^{3}}{3!}$ + $\frac{x^{4}}{4!}$ + ... - ( x - $\frac{x^{3}}{3!}$+ $\frac{x^{5}}{5!}$ - ...)  -1 = $\frac{x^{2}}{2}$ + 2$\frac{x^{3}}{3!}$ + $\frac{x^{4}}{4!}$ + ...

$\frac{Zähler}{x^{2}}$ = 1/2 + 2 $\frac{x^{1}}{3!}$ + ...     geht gegen 1/2

2)

x sin x = x² - $\frac{x^{4}}{3!}$+ $\frac{x^{6}}{5!}$ - ...

cos(x) -1 = - $\frac{x^{2}}{2!}$+ $\frac{x^{4}}{4!}$ - ...

Kürze mit x²:

Bruch = $\frac{1-\frac{x^{2}}{3!}+\frac{x^{4}}{5!}...}{-\frac{1}{2!}+\frac{x^{2}}{4!}...}$      geht gegen -2

Comments

Jetzt verstehe ich alles, vielen Dank.

Answer 2

Hallo

warum schreibst du nicht erst mal die Potenzreihe von e^x, sin(x), cos(x) hin

und dann den Ausdruck? die ersten paar Glieder zeigen dir schon was rauskommt

Sonst sag genauer wo du scheiterst,

(fehlt in b) nicht ne Klammer?)

lul

Comments

Hallo Lul,

Ich habe versucht, die Frage so zu lösen, kam aber leider zu keinem Ergebnis :( Und ja, in b habe ich den Nenner nicht in Klammern gesetzt, das kann zu Verwirrung geführt haben.

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Hallo

dann schreibe mal die Reihen, bzw Zähler und Nenner auf denn deine Aussage verstehe ich nicht.

lul

Answer 3

a)

$\lim\limits_{x\to 0} \frac{1}{2}+\frac{x}{3}+\frac{x^{2}}{24}+\frac{x^{4}}{720}+\frac{x^{5}}{2520} \, ... = \frac{1}{2}$

Comments

Danke für die Antwort aber ich verstehe das nicht... Bitte einmal für Blödis erklären ^^

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Und ich verstehe nicht, was es ist das Du nicht verstehst.

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Ok, was hast du gemacht und wie kommst du auf diese Lösung?

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Ich habe die Potenzreihe hingeschrieben und gemerkt, dass alle Summanden ab dem zweiten gleich null werden.

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Also die Potenzreihe jedes einzelnen Wert hinschreiben? Würde es dir was ausmachen, das etwas ausführlicher zu erklären? Ich bin da gerade echt verwirrt,

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Die Potenzreihe des in der Aufgabenstellung gegebenen Terms, für x = 0.

Jeden "einzelnen Wert hinschreiben" dürfte schwierig werden, denn die Reihe ist unendlich. Darum die drei Punkte.