Aussagen beweisen für Sinus

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie die folgenden Aussagen:

1. Für alle \( x \in \mathbb{R} \) gilt \( |\sin (x)| \leqslant|x| \). für alle \( x, y \in \mathbb{R} \).
2. Die Sinusfunktion ist Lipschitz-stetig auf ganz \( \mathbb{R} \).

Sie dürfen verwenden, dass

\( \sin (x)-\sin (y)=2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \sin \left(\frac{x-y}{2}\right) . \)

Problem/Ansatz:

Ich komm hier leider nicht weiter...

Answer 1

Das geht beides mit dem Zwischenwertsatz der Differentialrechnung bzw. mit einer Tayloreihenentwicklung und dem Lagrangen Restglied.

Zu (a)

Taylorreihe 1-ter Ordnung um \( x_0 = 0 \)

$$ \sin(x) = \sin(0) + \cos(\xi) x = \cos(\xi) x $$ mit \( \xi \in [ 0, x ] \) und wegen \(|\cos(x)| \le 1 \) folgt die Behauptung.

Zu (b)

Aus dem ZWS folgt

$$ | \sin(x) - \sin(y) | = | \cos(\xi) | | x - y | \le | x - y | $$