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Aufgabe:

Zerlegen Sie y = x^5-1in irreduzible komplexe und irreduzible reelle Faktoren.


Problem/Ansatz:

Für reell habe ich herausbekommen: x^5-1 = (x-1)*(x^4+x^3+x^2+x+1).

Wie rechnet man nun die Nullstellen von x^4+x^3+x^2+x+1 aus?

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Es ist wohl einfacher, die 5 komplexen Lösungen der Gleichung x**5=1 zu berechnen.

(gelöscht) ....

4 Antworten

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Beste Antwort

Versuchsmal mit \( z = e^{\frac{2 k i \pi} {5}} \) für \( k = 0  .. 4 \)

Avatar von 39 k

Danke ullim. Diese "Methode" hätte ich fast vergessen. Jetzt stimmen die Ergebnisse :)

Bedenle auch die irreduzible Zerlegung im Reellen,
nach der ebenfalls gefragt war!

hab ich, danke :)

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Wie Tschakabumba richtig sagt, kann man von \(x^4+x^3+x^2+x +1\)

keinen reellen Linearfaktor abspalten,

das heißt aber nicht, dass man das Polynom nicht in 2 Faktoren

von Grad 2 zerlegen kann.

Sei \(\rho=e^{2\pi i/5}\). Das ist eine primitive 5-te Einheitswurzel,

deren Potenzen \(1=\rho^0,\rho^1,\rho^2,\rho^3,\rho^4\) also alle Lösungen

von \(x^5=1\) liefern.

Nun ist

\(\rho+\rho^4=\rho+\overline{\rho}=2\cos(2\pi/5)\)  und \(\rho\cdot \rho^4=1\),

woraus \((x-\rho)(x-\rho^4)=x^2-2\cos(2\pi/5)x+1\) folgt.

Ebenso hat man

\(\rho^2+\rho^3=\rho^2+\overline{\rho}^2=2\cos(4\pi/5)\)  und \(\rho^2\cdot \rho^3=1\),

woraus \((x-\rho^2)(x-\rho^3)=x^2-2\cos(4\pi/5)x+1\) folgt.

Damit ergibt sich die reelle Zerlegung

\(x^4+x^3+x^2+x+1=(x^2-2\cos(2\pi/5)x+1)(x^2-2\cos(4\pi/5)x+1)\).

Der Titel der Aufgabe war irreführend:

es ging nicht um Linearfaktoren, sondern um irreduzible Faktoren,

was zwar im Komplexen dasselbe ist, aber nicht im Reellen.

Avatar von 29 k
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Aloha :)

Die Funktion \(f(x)=x^5-1\) hat die Ableitung \(f'(x)=5x^4\). Diese Ableitung ist immer \(\ge 0\), das heißt die Funktion ist monoton wachsend. Klammert man die Stelle \(x=0\) aus, ist sie sogar streng monoton wachsend. Außer der offensichtlichen Nullstelle bei \(x=1\) kann es daher keine weitere Nullstelle in \(\mathbb R\) geben.

Avatar von 148 k 🚀

Die Funktion f ist auf ihrem gesamten Definitionsbereich streng monoton steigend.

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Die Gleichung \( x^4+x^3+x^2+x+1 \) ist reziprok. Mit der Substitution \( u = x+{1\over x} \) lässt sie sich leicht lösen.

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