Flüssigkeitsvolumen eines Rotationskörpers berechnen

Question

Aufgabe:

Die quadratische Gleichung lautet f(x) = 3/4(x^2) und die Umkehrfunktion f-1(x) = √4/3(x).

Zu berechnen ist das Flüssigkeitsvolumen.

Abbildung:

Lösungsbeispiel im Buch:

Wir bestimmen also zunächst die Umkehrfunktion von \( \mathrm{f} \). Wir erhalten als Resultat: \( f^{-1}(x)=\sqrt{x-1}, 2 \leq x \leq 5 \)

Die Integrationsgrenzen sind die Funktionswerte von \( \mathrm{f} \) an den Stellen \( \mathrm{a}=1 \) und \( \mathrm{b}=2 \), d.h. die Zahlen \( f(a)=2 \) und \( f(b)=5 \).

Das gesuchte Rotationsvolumen lautet daher: \( V=\pi \cdot \int \limits_{2}^{5}(\sqrt{x-1})^{2} d x=\pi \cdot \int \limits_{2}^{5}(x-1) d x=\pi \cdot\left[\frac{1}{2} x^{2}-x\right]_{2}^{5}=7,5 \pi \)

Ansatz/Problem:

Ich verstehe hauptsächlich nicht wie hier die Integrationsgrenzen bestimmt wurden. Ist a immer 1 und b = 2 oder wie?

Answer 1

Das Lösungsbeispiel passt nicht zur Aufgabe.

In der Aufgabe sind die Interationsgrenzen 0 und 3.

Das Flüssigkeitsvolumen ist

        \(\underbrace{\pi \cdot 2^2\cdot (3-(-1))}_{V_\text{Zylinder}}-\pi\cdot\int\limits_0^3 \left(f^{-1}(x)\right)^2\mathrm{d}x \)

Comments

Wie bist du auf die Integrationsgrenzen gekommen?

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Ich habe das Bild um 90° im Uhrzeigersinn gedreht und mir angeschaut, von wo bis wo der Graph die Flüssigkeit beschreibt.

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Verstehe. Wie bist du auf die Höhe des Zylinders gekommen? (3-(-1))

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Ich habe das Bild um 90° im Uhrzeigersinn gedreht und mir angeschaut, von wo bis wo die Flüssigkeit verläuft.

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Vielen Dank. Habe als Volumen nun 10π.

Answer 2

Hallo,

du lässt die Umkehrfunktion um die x-Achse rotieren.

Damit sind die Integrationsgrenzen die y-Werte der Ausgangsfunktion, hier also -1 und 3.

Gruß, Silvia

Comments

Bitte sachgerecht korrigieren.

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Du meinst, ich sollte über die "-1" nochmal nachdenken?

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Wenn du es nicht durch die Angabe einer entsprechenden Funktion retten willst

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Ach du Himmel, die Flüssigkeit ist nicht im Kelch.