Relation X/Y auf R, Reflexivität, Symmetrie, Transitivität: R2={(x,y)∈(ℝ*ℝ∖{0}) ∣xy∈ℚ}

Question

Ich versuche gerade die Reflexivität, Symmetrie und Transitivität auf folgende Aufgabestellung zu bestimmen:

R2={(x,y)∈(ℝ*ℝ∖{0}) ∣xy∈ℚ}

Reflexivität:
2 geteilt durch 2 = 1 ==> 1 ist eine Ganze Zahl, also ist es reflexiv

Symmetrisch:

40 geiteilt durch 5 = 8  ==> 8 ist eine ganze Zahl

und

5 geteilt durch 40 = 0, noch was....===keine gerade Zahl, also ist es nicht symmetrisch,

In der Lösung steht aber, dass das symmetrisch sein soll.

Transitiv:

40 geteilt durch 8 = 4

100 geteilt durch 25 = 4

Das ist aber kein richtiger beweis, denn statt 25 müsste bei der zweiten Rechnung auch 8 stehen oder wie beweist man das? danke für jeden tipp.

Answer 1

R2={(x,y)∈(ℝ*ℝ∖{0}) ∣xy∈ℚ}

Reflexivität:
x*x Element Q für alle x Element R. Stimmt nicht. Nimm z.B. x=π. π*π ∉ Q. Steht da wirklich xy∈ℚ ?

Symmetrisch:

Wenn xy∈ℚ, dann gilt auch yx∈ℚ gemäss Kommutativgesetz in R. R2 ist symmetrisch.

Transitiv:

Behauptung; wenn xy∈ℚ und yz∈ℚ, dann ist auch xz∈ℚ

Seien xy∈ℚ und yz∈ℚ

Es folgt:

xy * yz = x y^2 z ∈ℚ

und 

(xy) / (yz) = x / z ∈ℚ

Aber das genügt noch nicht.

Bsp. x=2^{1/3} und y= 2^{2/3} und z=2^{4/3}

2^{1/3} * 2^{2/3} = 2 ∈ℚ

2^{2/3} * 2^{4/3} = 2^2 = 4  ∈ℚ

Aber 2^{1/3} * 2^{4/3} = 2^{5/3} ∉ℚ

Somit R2 nicht transitiv.
 

Comments

Warum Pi mal Pi ??

da steht, dass die Division Element von Q (ganze Zahlen) sein muss.

Also darf ich keine Dezimalzahl erhalten.

ja, da steht wirklich: X geteilt Y Element von Q

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Q sind die rationalen Zahlen. Vgl: https://www.matheretter.de/wiki/irrationale-zahlen

Von Division hast du gar nichts geschrieben in der Definition von R2: R2={(x,y)∈(ℝ*ℝ∖{0}) ∣xy∈ℚ}

Answer 2

Zunächst einmal ganz grundsätzlich:

Du kannst nicht eine allgemeine Behauptung dadurch beweisen, dass du zeigst, dass sie in einem bestimmten Fall gilt. Statt dessen musst du entweder zeigen, dass sie immer gilt oder du musst ein Gegenbeispiel finden und somit zeigen, dass sie nicht immer gilt, also im Allgemeinen falsch ist.

 

Zu deiner Aufgabenstellung:

R2 = { ( x , y ) ∈ ( ℝ * ℝ ∖ { 0 } )  ∣ x y ∈ ℚ }

R2 ist also die Menge aller Paare ( x , y ) für die gilt, dass x und y relle Zahlen außer der Null sind und dass das Produkt x * y ∈ Q, also eine rationale Zahl ist.

Beispiele für solche Paare sind

( 1 , 3 ) , ( - 5 / 3  , 6 / 7  ) , ( √ 2 , √ 8 )

aber auch etwa

( √ ( 3 / 2 ) ,  √ ( 6 / 25 ) )

denn √ ( 3 / 2 ) *  √ ( 6 / 25 ) = √ ( 18 / 50 ) = √ ( 18 )  / √ ( 50 ) = ( 3 * √ 2 ) / ( 5 * √ 2 ) = 3 / 5 ∈ Q

(Erkenntnis nebenbei: Das Produkt zweier irrationaler Zahlen kann durchaus rational sein).

 

Du sollst nun die Relation "x teilt y" bezüglich dieser Menge auf Reflexivität, Symmetrie und Transitivität untersuchen, und zwar allgemein(!) und nicht nur an einem Beispiel.

 

Reflexivität:

x | x gilt für alle x ∈ R, also gilt es insbesondere auch für alle Paare ( x , y ) ∈ R2.

Die Relation " x teilt y " ist also reflexiv auf R2.

 

Symmetrie:

Gegenbeispiel: ( x , y ) = ( 3 , 9 ) ∈ R2

Es gilt: 3 | 9 aber nicht 9 | 3

Die Relation " x teilt y " ist also nicht symmetrisch auf R2.

 

Transitivität:

Seien ( x , y ) und ( y , z ) ∈ R2 mit x | y und y | z

Aus 

x | y und y | z

=> y = x * r und z * y * s

=> z = x * r * s

=> z = x * t ( mit t = r * s )

=> x | z

Die Relation " x teilt y " ist also transitiv auf R2.