Scherzaufgabe: Wieso ist das so? kann mir das jemand erklären? ∑ n -----> -1/12

Question

∑

Wieso ist $$ \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ n } \xrightarrow [  ]{  } -\frac { 1 }{ 12 } $$ ???

Answer 1

Diese Scherzaufgabe wurde in einem Video vorgestellt, was ich mir aber nur ganz kurz angesehen habe.

Natürlich ist die Summe aller natürlichen Zahlen ≠ -1/12

(Schon deshalb plausibel, weil die Addition nur positiver Zahlen keine negative Summe ergeben kann.)


Ich habe mich mit dem "Beweis" nicht auseinander gesetzt, weil ich meine Zeit besser nutzen kann :-D


Es gibt im Übrigen auch diverse "Beweise", dass 1 = 0 ist!


Besten Gruß

Comments

Aber, wieso steht es dann in den meissten Büchern? Zb. in String Theory von Joseph Polchinski

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Das kann ich Dir leider auch nicht sagen.

In einem herkömmlichen Mathebuch für die Schule und wahrscheinlich auch für die Uni wirst Du diese Gleichung wohl kaum finden.

Mir ist bei solchen Aussagen irgendwie unwohl.

Sollte es in diesem Forum jemanden geben (und hier sind viele Helfer, die wesentlich mehr von Mathematik verstehen als ich), der uns beiden schlüssig (!) und widerspruchsfrei die besagte Gleichung beweisen kann, würde mich das überraschen.

Vielleicht findet sich jemand :-D

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Die Gleichung ist richtig wenn auch die Notation extrem missbräuchlich ist (für Physiker kann man es durchgehen lassen oder auch Euler vor 200 Jahren, da war die Notation noch nicht so rigoros.). Eine Variante ist: https://de.wikipedia.org/wiki/Riemannsche_%CE%B6-Funktion Es ist $$\zeta(-1)=\frac{1}{12}$$ und $$\zeta (s)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n^s}$$ für komplexe s mit Realteil größer 1. Identifiziert man nun auch für die restlichen komplexen Zahlen den Wert der Zeta-Funktion mit der Summe kommt man auf diese Gleichheit.

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Jemand hats erklärt er hat zuerst gesagt das S₁= 1-1+1-1+1-1+1-... = 1/2 ist, weil: 1-S₁ = 1- (1-1+1-1+1-1+1-...= 1-1+1-1+1-1+1-...= S=> 2S => 1S = 1/2

 

S₁= 1-1+1-1+1-1+1-... = 1/2

S₂= 1-2+3-4+5-... = 1/4 is, weil: 2S₂= 1-2+3-4+5-...

                                                                    +  1-2+3-4+5...

                                                                    1 -1+1-1+1-1...= S₁ 

Also 2S₂= 1/2 => 1S₂= 1/4 

 

S-S₂ = 1+2+3+4+5...

          - 1-2+3-4+5

         = 4 + 8 + 12...

         = 4(S)

 

und schlussendlich:

 

S-1/4=4S 

-1/4= 3s => S= - 1/12 

 

Stimmt das?

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Das hier S1= 1-1+1-1+1-1+1-... = 1/2 gilt nicht im herkömmlichen Sinne, jedoch wenn man den Term als Cesaro-Summe https://de.wikipedia.org/wiki/Ces%C3%A0ro-Mittel betrachtet. Und das Ganze ist im Wesentlichen die Argumentation über die Zeta-Funktion.

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Eine Unstimmigkeit liegt meiner Meinung nach schon im ersten Satz vor:

$$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n =1-1+1-1+1-1+...$$

Die Reihe konvergiert nicht, da $$a_n = (-1)^n, n \ge 0$$ keine Nullfolge ist. Ihr Grenzwert existiert gar nicht.

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Das kommt davon wenn man den Begriff "Absolute Konvergenz" nicht ernst genug nimmt. Wenn die Reihe nicht absolut konvergent ist, dann kann man sie weder zerlegen noch rum permutieren. In der Physik ist so was jedoch moeglich, weil der Begriff "Unendlich" "anders" ist wie in der Mathematik, z.b. Abstand Erde-Sonne im Vergleich Atomkern-Elektron "unendlich". 10²³ Teilchen sind auch "unendlich" viele. Da dieses physikalische "Unendlich" nicht wirklich unendlich ist, kann man die "unendliche" Reihe doch zerlegen und umpermutieren. Was dabei raus kommt ist schon lustig, aber im mathematischem Sinne falsch (weil die Summe ueber n nicht konvergiert, insbesondere nicht absolut)

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Das "physikalische unendlich" unterscheidet sich in keiner Weise vom mathematischen Begriff. Die hier angesprochene Gleichheit wurde unter anderem von Euler und Ramanujan bewiesen, zwei Personen von denen man doch annehmen kann, sie wussten was sie tun (ist ja auch so). Sie verwendeten jeweils eine andere Def. von Konvergenz als die heute übliche. Ich empfehle mal https://en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2B_3_%2B_4_%2B_%E2%8B%AF zu lesen bevor hier weiter falsches Halbwissen abgelassen wird.

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Das physikalische Unendlich unterscheidet wohl vom mathematischen Unendlich. In der Physik gibt es kein Unendlich, wie man es in der Mathematik versteht.  

Man kann Naeherungen machen, damit die Rechnung verdaulicher wird. Wir rechnen zwar damit, aber wir wissen zumindest, dass dieser Grenzfall rein theoretisch ist und bei grossen Verhaeltnissen definitiv plausibel ist.  Zum Beispiel t/τ → ∞ oder L / l₀ →∞. Oder meinetwegen auch den thermodynamischen Limes N/V  fuer N, V → ∞. Wenn du ein makroskopisches System betrachtest mit endlicher Laenge und Quanteneffekte untersuchen moechtest. Z.B. Dephasierung , dann vereinfacht man in dem man sagt L_sys/L_deph → ∞ , wobei L_Sys einige μm oder mm betraegt.

Ich weiss nicht welche Physik du meinst, aber die Physik, die an Universitaeten gelehrt wird unterscheidet diese Begriffe. Rein technisch sind sie jedoch gleich.