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Aufgabe:

Ein Monopolunternehmen bietet zwel Güter \( A \) und \( B \) zu den (veränderbaren) Preisen \( p_{1} \) (Gut \( A \) ) und \( p_{2} \) (Gut \( B \) ) an. Die Nachfrage nach diesen beiden Gütern wird durch die beiden Nachfragefunktionen

\( \begin{array}{lr} q_{1}\left(p_{1}, p_{2}\right)= & 56-14 p_{1}+5 p_{2} \\ q_{2}\left(p_{1}, p_{2}\right)= & 54-4 p_{1}-3 p_{2} \end{array} \)

bestimmt, wobei \( q_{1} \) die Nachfrage nach Gut \( A \) und \( q_{2} \) die Nachfrage nach Gut \( B \) beschreibt. Die Herstellungskosten für die beiden Güter betragen pro Stück 4 GE (Gut \( A \) ) und \( 2 \mathrm{GE} \) (Gut \( B \) ). Es gibt ein eindeutig bestimmtes Paar \( \left(p_{1}, p_{2}\right) \) von Preisen für die beiden Güter \( A \) und \( B \), sodass das Unternehmen maximalen Gewinn erzielt.

a. Wie muss der Preis \( p_{1} \) festgesetzt werden, so dass maximaler Gewinn erzielt wird?
b. Wie muss der Preis \( p_{2} \) festgesetzt werden, so dass maximaler Gewinn erzielt wird?
c. Wie lautet das Element links oben der Hesse-Matrix?
d. Welchen Wert nimmt die Determinante der Hesse-Matrix an?
e.1. Die Funktion ist konkav.
e.2. Die Funktion ist konvex.
e.3. Die Funktion ist weder konvex noch konkav.
f. Welcher Gewinn kann maximal erzielt werden?
g. Welche Menge \( q_{1} \) lässt sich im Gewinnmaximum absetzen?
h. Welche Menge \( q_{2} \) lässt sich im Gewinnmaximum absetzen?
i. Welche Kosten fallen im Gewinnmaximum an?



Problem/Ansatz:

Hallo zusammen,

ich bräuchte einmal drinend Hilfe! a und b habe ich geschafft. Als Ergebnis habe ich bei p1= 3,79 und bei p2=13,96 bekommen. Aber bei der Hesse- Matrix happert es dann. Ich habe verstanden, dass ich immer partiell ableiten muss, also für links oben zweimal nach p1, für oben rechts erst nach p1 und dann nach p2 usw. Leider bekomme ich gar kein Ergebnis (also immer 0). Kann mir vielleicht jemand die richtigen Rechenwege/Ergebnisse weiterleiten? Vielen Dank im Voraus!!

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a und b habe ich geschafft. Als Ergebnis habe ich bei p1= 3,79 und bei p2=13,96 bekommen.

Dort hätte Wolfram etwas anderes heraus.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=max+%2856-14p%2B5q%29%28p-4%29%2B%2854-4p-3q%29%28q-2%29

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Avatar von 477 k 🚀

ok vielen Dank!! Inzwischen bin ich bei der Hesse Matrix etwas weitergekommen. Ich habe folgende Punkte ausgerechnet:

-28   1

1      6

SInd diese jetzt auch falsch? Denn ich habe einfach die partiellen Ableitungen gemacht.

Ich habe in der Hesse-Matrix eine -6 statt eine +6.

ok vielen lieben Dank! Dann muss ich einen Fehler in der Ableitung haben! Stimmt es dass ich beim maximalen Gewinn die Zahlen (also für x 4,55 und für y 7,425) in die Gewinnfunktion also in 120x-14x^2+xy+80y+3y^2-332 eingeben muss?

Ich habe bereits eine abweichende Gewinnfunktion

G(p, q) = - 14·p^2 + p·q + 120·p - 3·q^2 + 40·q - 332

Achso vielen Dank! Aber wie sind Sie auf die 40q gekommen?


Aber der Schritt mit den Zahlen einsetzen stimmt schon noch oder?

Aber der Schritt mit den Zahlen einsetzen stimmt schon noch oder?

Prinzipiell schon, wenn es dann die richtigen Zahlen sind.

(56 - 14·p + 5·q)·(p - 4) + (54 - 4·p - 3·q)·(q - 2)

Hier nur mal auf das reduziert was nur ein q enthält

(5·q)·(-4) + (54·q) + (- 3·q)·(-2) = 40·q

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