Zeigen Sie, dass die Menge der nicht invertierbaren linearen Abbildungen aus \mathcal{L}(V, V) kein Unterraum von …

Question

Sei $V$ ein $\mathbb{F}$-Vektorraum mit Basis $v_{1}, \ldots, v_{n}$.

(a) Sei $V$ ein endlich-dimensionaler $\mathbb{F}$-Vektorraum mit $\operatorname{dim}(V)>1 .$ Zeigen Sie, dass die Menge der nicht invertierbaren linearen Abbildungen aus $\mathcal{L}(V, V)$ kein Unterraum von $\mathcal{L}(V, V)$ ist.

(b) Begründen Sie, weshalb die Aussage aus Teilaufgabe (a) nicht für den Fall $\operatorname{dim}(V)=1$ gilt

Answer 1

(a) Es gibt eine invertierbare lineare Abbildung, die man als Summe von zwei nicht-invertierbaren linearen Abbildungen schreiben kann.

(b) Es gibt eine einzige nicht-invertierbare lineare Abbildung.

Comments

Danke für die Antwort. Leider weiß ich noch nicht genau, wie ich hier vorgehen soll.

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$V$ ist isomorph zu $\mathbb{F}^n$. Es genügt deshalb, die linearen Abbildungen $\mathbb{F}^n\to \mathbb{F}^n$ zu untersuchen.

Die linearen Abbildungen $\mathbb{F}^n\to \mathbb{F}^n$ sind genau die Abbildungen

        $f_A: v\mapsto A\cdot v$

mit $A\in \mathbb{F}^{n\times n}$. Dabei ist $f_A$ genau dann invertierbar, wenn $A$ invertierbar. Es genügt deshalb, Invertierbarkeit von $n\times n$-Marizen zu untersuchen.

(a) Es gibt eine invertierbare lineare Abbildung, die man als Summe von zwei nicht-invertierbaren linearen Abbildungen schreiben kann.

Finde Matrizen $A,B,C\in \mathbb{F}^n$ mit $A+B = C$, so dass $C$ invertierbar ist, aber $A$ und $B$ nicht.

(b) Es gibt eine einzige nicht-invertierbare lineare Abbildung.

Welche $1\times 1$-Matrix ist nicht invertierbar?

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Vielen Dank für die ausführliche Erklärung! :)