Aufgabe:
In dieser Aufgabe wollen wir zeigen, dass die Gleichung \( x^{2}=\exp (-x) \quad \) für \( x \in \mathbb{R}_{0}^{+}=[0 ;+\infty) \)
eine eindeutige Lösung \( x_{0} \) besitzt, und wollen zudem eine rationale Approximation für \( x_{0} \) bestimmen. Hierzu gehen wir wie folgt vor:
(a) Wir betrachten die Funktion \( f: \mathbb{R}_{0}^{+} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto x^{2}-\exp (-x) \). Zeigen Sie, dass \( f \) stetig und streng monoton wachsend ist, und berechnen sie \( f(0) \) und \( f(1) \).
(b) Beweisen Sie mithilfe des Zwischenwertsatzes die Existenz einer Lösung \( x_{0} \) der Gleichung (1). Begründen Sie anschließend, warum diese Lösung eindeutig ist.
(c) Bestimmen Sie mithilfe des Bisektionsverfahrens ein \( q \in \mathbb{Q} \) mit \( \left|q-x_{0}\right|<0,1 \).
