Kern, Bild und Dimension ohne Abbildungsmatrix berechnen

Question

Hallo, weiß jemand wie ich bei folgender Aufgabe vorgehen soll?

$\operatorname{Im} \mathbb{R}^{3}$ seien die folgenden Vektoren gegeben:
$\mathbf{v}_{1}=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right), \mathbf{v}_{2}=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right), \mathbf{v}_{3}=\left(\begin{array}{c} 4 \\ 1 \\ -2 \end{array}\right), \quad \mathbf{w}_{1}=\left(\begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 3 \end{array}\right), \mathbf{w}_{2}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ -2 \end{array}\right), \mathbf{w}_{3}=\left(\begin{array}{c} 6 \\ 1 \\ -5 \end{array}\right) .$
a) Gibt es eine eindeutige lineare Abbildung $T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ mit $T\left(\mathbf{v}_{n}\right)=\mathbf{w}_{n}$ für $n=1,2,3$ ?
b) Bestimmen Sie $\operatorname{Kern}(T)$ und $\operatorname{Bild}(T)$ sowie deren Dimension.
Bearbeiten Sie diese Aufgabe ohne die Abbildungsmatrizen explizit zu berechnen.

Danke im voraus

Answer 1

Die v_i sind l.u.

Sei v ein beliebiger Vektor aus ℝ³. Dann hat er genau eine Darstellung durch die Basisvektoren, also

v=av₁ + bv₂ +cv₃. Dieses v hat genau einen Bildvektor w=aw₁ + bw₂ +cw₃.. T ist also eine eindeutige Abb.

also a): Ja!

b) Bild(T) ist die Menge aller Linearkomb. der w_i. Die 3 w_i kannst du nach Steinitz durch die 2 Vektoren $\begin{pmatrix} 1\\0\\-1 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix}$ ersetzen:

$\begin{pmatrix} -2\\1\\3 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 2\\0\\-2 \end{pmatrix}$ ,$\begin{pmatrix} 6\\1\\-5 \end{pmatrix}$

bilden ein "Erzeugnis", den Vektorraum aller ihrer Linearkomb. Ersetze w1 durch w1 + w2 und schon wird es einfacher.

$\begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 2\\0\\-2 \end{pmatrix}$ ,$\begin{pmatrix} 6\\1\\-5 \end{pmatrix}$

Ersetze w3' durch w3' - 3*w2 und teile w2' durch 2 schon wird es einfacher.

$\begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1\\0\\-1 \end{pmatrix}$ ,$\begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix}$

Ersetze w1'' durch w1'' - w3''

$\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1\\0\\-1 \end{pmatrix}$ ,$\begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix}$

Der Nullvektor trägt nichts bei zum Erzeugnis, lass ihn weg. Übrig bleiben 2 l.u. Vektoren.

Sie haben das gleiche 2-dimensionale Erzeugnis, nämlich Bild(T). Also gibt es einen Vektor v, dessen Vielfache durch T auf den Nullvektor abgebildet werden. Also ist der Kern(T) eindimensional, denn

dim(Kern) + dim(Bild) = 3

Comments

Hast du die lineare Abhängigkeit in a) mit der Linearkombination herausgefunden?

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Schreib die 3 w_i hin und ersetze immer einen der 3 durch eine Linearkombination dieses Vektors und eines anderen, so dass Nullen entstehen. Nach 2, 3 Schritten siehst du dann den Nullvektor mit den beiden obigen aus der Rechnung.

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z.B. Ersetze w₁ durch w₁ + w₂ und schon wird es einfacher.

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alles klar danke :)

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Wieso ist die Antwort zu a): Nein?

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Danke, war falsch. Die Antwort muss "Ja" heißen.

Answer 2

Hallo

1.nachprüfen ob die v_i und w_i linear unabhängig sind

die w_i sind es nicht die v_i schon!  Kern von T

Kern kannst du damit leicht finden, ebenso dann das Bild Linearkombination der Bilder  der vi.

Gruß lul