Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz

Question

Aufgabe: Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz:

Text erkannt:

(d) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} \)

Answer 1

Aloha :)

Betrachte zuerst die Summe bis zu einer Obergrenze \(N\) anstatt \(\infty\):$$S_N=\sum\limits_{n=1}^N\frac{1}{n(n+1)}=\sum\limits_{n=1}^N\frac{n+1-n}{n(n+1)}=\sum\limits_{n=1}^N\left(\frac{n+1}{n(n+1)}-\frac{n}{n(n+1)}\right)$$$$\phantom{S_N}=\sum\limits_{n=1}^N\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=\sum\limits_{n=1}^N\frac1n-\sum\limits_{n=1}^N\frac{1}{n+1}=\sum\limits_{n=1}^N\frac1n-\sum\limits_{n=2}^{N+1}\frac{1}{n}$$$$\phantom{S_N}=\left(\frac11+\sum\limits_{n=2}^N\frac1n\right)-\left(\sum\limits_{n=2}^{N}\frac{1}{n}+\frac{1}{N+1}\right)=1-\frac{1}{N+1}$$Damit haben wir den Grenzwert der Summe und seine Existenz gezeigt:$$S_\infty=\lim\limits_{N\to\infty}S_N=\lim\limits_{N\to\infty}\left(1-\frac{1}{N+1}\right)=1-0=1$$

Answer 2

Hallo

mache eine Partialbruchzerlegung, dann hast du eine Teleskopsumme, wenn du es nicht direkt siehst schreib die ersten paar Glieder hin.

Gruß lul