Quadrik q(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 - 2xy + 2xz + 2yz + x -y+z + 1/4

Question

Es sei \( q: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}, q\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}+2 x_{2} x_{3}+x_{1}-x_{2}+x_{3}+\frac{1}{4} \).

Bestimmen Sie eine symmetrische \( 3 \times 3 \) Matrix \( A \), einen Vektor \( b \in \mathbb{R}^{3} \) und ein \( c \in \mathbb{R} \) mit \( q(x)=x^{T} A x+b^{T} x+c . \)

Ich wüsste gerne wie ich erkenne, was zur Matrix bzw. Vektor b und c gehört von der Quadrik.

Answer 1

Hi,

einfach in die Formel einsetzen

$$A = \begin{pmatrix}1&-1 &1 \\ -1&1&1 \\1& 1& 1 \end{pmatrix}$$

$$b = \begin{pmatrix} 1 \\-1 \\ 1 \end{pmatrix} $$

$$c = \frac14$$

Grüße

Comments

Lösung muss laut Prof so aussehen:

\( q(x)=x^{\top} A x+b^{\top} x+c \) wobei

\( A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right), b=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right), c=\frac{1}{4} \)

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Ah sry mein Fehler (korrigiert).

Hatte bei den Nebendiagonalen vergessen durch zwei zu dividieren.

zu A:

Die Hauptdiagonale ist durch x_i^2 gegeben. Die Nebendiagonalen werden durch x_ix_j beschrieben, wobei der halbe Vorfaktor je dem Matrixeintrag ixj und jxi zugeteilt wird.

zu b:

Die Vorfaktoren von dem linearen Teil entsprechen direkt dem Vektor

zu c:

das konstante Glied ist c.

Es wird halbiert (oder bei mir hatte ich "halber Vorfaktor" gesagt).