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Aufgabe:

\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{(k+1)^{k}}{k^{k+1}}=\sum \limits_{k=1}^{\infty}(k+1)^{k} \cdot k^{-k-1} \)

k-k-1 ist eine Nullfolge => damit konvergiert die Reihe





Problem/Ansatz:

Warum divergiert die Reihe? Wo ist der Fehler in meinem Ansatz?

von

1 Antwort

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Beste Antwort

Der Denkfehler besteht darin, dass die Nullfolge lediglich eine notwendige Bedingung für die Konvergenz ist, jedoch keine hinreichende. Einfach gesprochen, jede konvergente Reihe weist eine Nullfolge auf, jedoch bedeutet eine Nullfolge nicht unbedingt, dass die Reihe konvergiert. Das wohl bekannteste Beispiel hierfür ist die harmonische Reihe, nämlich \(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}  \frac{1}{n}\). Mit dem Minorantenkriterium ergibt sich:

\(\begin{aligned} (k+1)^{k} \geq k^{k} \Longrightarrow \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{(k+1)^{k}}{k^{k+1}} \geq \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{k^{k}}{k^{k+1}}=\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} \end{aligned}\)

von 2,9 k

Ah okay! Ich verstehe. Danke

Wenn ich es mit dem Wurzelkriterium mache, komme ich auf q=1. Damit habe ich doch auch keine eindeutige Aussage über die Konvergenz :/

Ja genau, das ist richtig

Wie kann ich es dann zeigen?

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