Aloha :)
Zur Entscheidung, ob die Reihe konvergiert, nutzen wir das Quotientenkriterium:$$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+2}}}{\frac{n!}{n^{n+1}}}\right|=\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+2}}\cdot\frac{n^{n+1}}{n!}=\frac{(n+1)!}{n!}\cdot\frac{n^{n+1}}{(n+1)^{n+2}}$$$$\phantom{\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|}=\frac{(n+1)!}{n!(n+1)}\cdot\frac{n^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}=\frac{(n+1)!}{(n+1)!}\cdot\frac{1}{\frac{(n+1)^{n+1}}{n^{n+1}}}=1\cdot\frac{1}{\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n+1}}$$$$\phantom{\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|}=\frac{1}{\left(1+\frac1n\right)^{n+1}}=\frac{1}{\left(1+\frac1n\right)\cdot\left(1+\frac1n\right)^n}\to\frac{1}{1\cdot e}=\frac1e<1$$Die Reihe konvergiert daher absolut.
Zur Bestimmung des Grenzwertes habe ich ad hoc leider keine Idee...
