f(t)= sin(t + Φ) als Linearkombination der Funktionen g1(t)= sin(t) und g2(t) = cos(t)

Question

Aufgabe:

Sei Φ Element aus den Reellen Zahlen. Schreiben Sie die Funktion f(t)= sin(t + Φ) als Linearkombination der Funktionen g1(t)= sin(t) und g2(t) = cos(t)

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand helfen? Ich muss diese Aufgabe Lösen, aber ich weiß nicht wie.

Ich dachte, dass man die Aufgabe mit diesem Ansatz lösen könnte: a*sin(t) + b*cos(t) = 0, da sie linear abhängig sind, aber ich komme nicht weiter.

Ich habe aber gesehen, dass die Funktion auch so schreiben kann: sin(t + Φ) = cos(Φ) sin(t) + sin(Φ) cos(t)

Answer 1

a*sin(t) + b*cos(t) = 0  für alle t führt auch a=b=0,

da sin und cos linear UNabhängig sind.

Aber mit sin(t + Φ) = cos(Φ) sin(t) + sin(Φ) cos(t)

hast du es doch schon; denn Φ ist doch eine

feste Zahl und somit ist in der

Linearkombination a*sin(t) + b*cos(t)

a= cos(Φ)      und b = sin(Φ).

Comments

Erstmal danke, dass du dir die Zeit genommen hast, um auf meine Frage zu antworten.

Das Problem ist, ich weiß nicht wie man auf diese Formel kommt. sin(t + Φ) = cos(Φ) sin(t) + sin(Φ) cos(t)

Nehmen wir an, ich würde nur die Aufgabenstellung bekommen, wie würde man die Aufgabe angehen?

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Dann könntest du den Ansatz so machen

sin(t + Φ) = a*sin(t) + b*cos(t)

für t=0 gibt es sin(Φ) = a*sin(0) + b*cos(0) = b

und z.B. t=-Φ gibt

                sin(0) =a*sin(-Φ) + b*cos(-Φ)   
                   aber (s.o) b=sin(Φ) gibt

<=>          0 = a*sin(-Φ) + sin(Φ)*cos(-Φ)

<=>          0 = -a*sin(Φ) + sin(Φ)*cos(-Φ)

<=>          0 =sin(Φ)  * (    -a* + cos(-Φ) ) 

Ist erfüllt , wenn -a* + cos(-Φ) = 0

                       also   a = cos(-Φ) = cos(Φ).

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und dann musst du noch zeigen, dass die Gleichung nicht nur für zwei t-Werte, sondern auch noch für die unendlich vielen anderen außer 0 und -Φ gültig ist.