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Aufgabe:

Wir betrachten die Fibonaccifolge. (fn)n∈ℕ0 ist rekursiv definiert durch

f0 := 0, f1 :=1 und fn+1 := fn+1 + fn
für n ∈ ℕ0.

Ferner sind für m × m-Matrizen A über einem kommutativen Ring die Potenzen Ak (k ∈ ℕ0) rekursiv definiert durch A0 := Im und Ak+1 := Ak A für k ∈ ℕ0

Frage: Begründe, warum  Am+n  = Am An    Für alle m,n ∈ ℕ0 gilt.

(In der Aufgabe davor wurde A:= \( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \) ∈ℝ2x2    


gilt An :=  \( \begin{pmatrix}  fn+1& fn \\ fn & fn+1-n\end{pmatrix} \) )



Problem/Ansatz:

Hallo, ich bin mir unsicher wie ich diese Aufgabe angehen soll.

Betrachte ich dies wie die potenzmultiplikation? Habe zu dem gelesen, dass diese Relation Am+n = Am An die summationsvorschrift von Fibonacci-Folgen mit fm+n  . A

Wie kann ich, dass verstehen?

Avatar von
"über einem kommutativen Ring" .

Diesen Teil im Satz kannst du beim Lesen erst mal weglassen. Danach aber wieder einbauen!

So weit bist du wohl schon. Oder?

Wenn a eine natürliche Zahl wäre, so kann rekursiv definiert werden: a^0. = 1 und a^(n+1): = a^n * a. Behauptung wäre a^(n+m) = a^n * a^m für natürliche n und m.

Das kannst du. Oder?

Nun kommt m in der Fragestellung in zwei verschiedenen Funktionen vor. Erstens zum Beschreiben der Grösse der Matrizen und dann auch noch als Exponent von A.

War das bei m=2 (Aufgabe vorher) auch schon so?

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