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Ich soll die folgenden Folgen auf Konvergenz untersuchen, und unter Angabe des Lösungswegs den Grenzwert bestimmen.

an = (1+1/n)2n

Durch Recherche hab ich herausgefunden, dass die Folge nach e2 konvergiert.

Wie genau komme ich da drauf?

Danke im Voraus!

von

1 Antwort

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Du kennst ja die Definition der eulerschen Zahl, nämlich

\(\begin{aligned} e=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} .\end{aligned} \)
Somit ergibt sich für deinen Grenzwert
\(\begin{aligned} \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2 n}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right)^{2}=\left(\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right)^{2}=e^{2} .\end{aligned}\)
wobei wir den Limes reinziehen konnten, da \( x^{2}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) eine stetige Funktion ist.


Das zweite Beispiel in den Kommentaren ist ebenso einfach:
\( \begin{aligned} \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{(n+1) !}{n !}\right)^{n} \cdot\left(\frac{1}{n+2}\right)^{n} &=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}(n+1)^{n} \cdot\left(\frac{1}{n} \cdot \frac{n}{n+2}\right)^{n} \\ &=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n} \cdot\left(\frac{n}{n+2}\right)^{n} \\ &=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \cdot\left(1-\frac{2}{n}\right)^{n} \\ &=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \cdot \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{2}{n}\right)^{n} \\ &=e \cdot \frac{1}{e^{2}}=\frac{1}{e} \end{aligned} \)
In (1) haben wir das Multiplikationsgesetz für Grenzwerte verwendet, da beide Faktoren konvergieren. Für den zweiten Faktor gilt:
\(\begin{aligned} \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{2}{n}\right)^{n}=\lim \limits_{m \rightarrow \infty}\left(1-\frac{2}{2 m}\right)^{2 m}=\left(\lim \limits_{m \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{m}\right)^{m}\right)^{2}=\frac{1}{e^{2}}\end{aligned} \)
was sich durch den Variablenwechsel \( n=2 m \) ergibt, wobei sich das Verhalten im unendlichen nicht ändert.

von 2,9 k

oh, einfacher als gedacht, Danke!

AN sich habe ich es verstanden, wie gesagt aber ich habe hier ein Beispiel wo ich es einfach nicht hinkriege:

((n+1)!/n!)n * 1/(n+2)n

anscheinend soll das 1/e sein, und ich weiß, dass \( \lim\limits_{n\to\infty} \) (1-1/n)n = 1/e

ist.

wie komme ich nun darauf?

ich habe meine Antwort erweitert.

Die Fakultät verschwindet dann wenn ich das reinmultipliziere oder wie genau verstehe ich das dann?

und ich sehe gerade beim zweiten term der folge ist das hoch n nur im nenner aber sie haben es um das gesamte gepackt, macht das einen unterschied?

Kennst du elementare Potenzgesetze? \(1^n = 1\)

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