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Für die Polarkoordinaten:$$\binom{x}{y}=\binom{r\cos\varphi}{r\sin\varphi}$$lautet die Umkehrung:$$r=\sqrt{x^2+y^2}\quad;\quad\varphi=\left\{\begin{array}{ll}\arctan\left(\frac yx\right) & \text{falls }x>0\\[1ex]\arctan\left(\frac yx\right)+\pi & \text{falls } x<0\end{array}\right.$$Wenn nun eine Funktion \(f(r,\varphi)\) von Polarkoordinaten abhängt, gilt nach der Kettenregel:$$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial r}\cdot\frac{\partial r}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial\varphi}\cdot\frac{\partial\varphi}{\partial x}\quad\implies\quad \frac{\partial}{\partial x}=\frac{\partial r}{\partial x}\,\frac{\partial}{\partial r}+\frac{\partial\varphi}{\partial x}\,\frac{\partial}{\partial\varphi}$$$$\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial r}\cdot\frac{\partial r}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial\varphi}\cdot\frac{\partial\varphi}{\partial y}\quad\implies\quad\frac{\partial}{\partial y}=\frac{\partial r}{\partial y}\,\frac{\partial}{\partial r}+\frac{\partial\varphi}{\partial y}\,\frac{\partial}{\partial\varphi}$$
Da wir die Abhängigkeiten \(r(x;y)\) und \(\varphi(x;y)\) kennen, können wir noch vereinfachen:$$\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}\cdot2x=\frac xr$$$$\frac{\partial r}{\partial y}=\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}\cdot2y=\frac yr$$$$\frac{\partial\varphi}{\partial x}=\frac{1}{1+\left(\frac yx\right)^2}\cdot\left(-\frac{y}{x^2}\right)=-\frac{y}{x^2+y^2}=-\frac{y}{r^2}$$$$\frac{\partial\varphi}{\partial y}=\frac{1}{1+\left(\frac yx\right)^2}\cdot\frac{1}{x}=\frac{1}{1+\left(\frac yx\right)^2}\cdot\frac{x}{x^2}=\frac{x}{x^2+y^2}=\frac{x}{r^2}$$
Damit haben wir die gewünschte Darstellung gefunden:$$\frac{\partial}{\partial x}=\frac xr\,\frac{\partial}{\partial r}-\frac{y}{r^2}\,\frac{\partial}{\partial\varphi}$$$$\frac{\partial}{\partial y}=\frac yr\,\frac{\partial}{\partial r}+\frac{x}{r^2}\,\frac{\partial}{\partial\varphi}$$
