Wie lauten die Operatoren ∂/∂x ,∂/∂y in ebenen Polarkoordinaten?

Question

Aufgabe:

Wie lauten die Operatoren ∂/∂x ,∂/∂y in ebenen Polarkoordinaten?

Problem/Ansatz:

wäre toll wenn mir jemand verständlich den lösungsweg erklären könnte

Answer 1

Ganz verständlich finde ich deine Frage leider nicht. aber wie man dx, dy  in Polarkoordinaten ausdrückt findest du in wiki unter Polarkoordinaten leicht.

Gruß lul

Comments

Danek für deine Antwort!

Schreibe ich dann bspw:

d/dx = d/d r*cos(phi)

bzw. ist das schon die Antwort oder wie genau?

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Für die Polarkoordinaten:$$\binom{x}{y}=\binom{r\cos\varphi}{r\sin\varphi}$$lautet die Umkehrung:$$r=\sqrt{x^2+y^2}\quad;\quad\varphi=\left\{\begin{array}{ll}\arctan\left(\frac yx\right) & \text{falls }x>0\\[1ex]\arctan\left(\frac yx\right)+\pi & \text{falls } x<0\end{array}\right.$$Wenn nun eine Funktion $f(r,\varphi)$ von Polarkoordinaten abhängt, gilt nach der Kettenregel:$$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial r}\cdot\frac{\partial r}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial\varphi}\cdot\frac{\partial\varphi}{\partial x}\quad\implies\quad \frac{\partial}{\partial x}=\frac{\partial r}{\partial x}\,\frac{\partial}{\partial r}+\frac{\partial\varphi}{\partial x}\,\frac{\partial}{\partial\varphi}$$$$\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial r}\cdot\frac{\partial r}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial\varphi}\cdot\frac{\partial\varphi}{\partial y}\quad\implies\quad\frac{\partial}{\partial y}=\frac{\partial r}{\partial y}\,\frac{\partial}{\partial r}+\frac{\partial\varphi}{\partial y}\,\frac{\partial}{\partial\varphi}$$

Da wir die Abhängigkeiten $r(x;y)$ und $\varphi(x;y)$ kennen, können wir noch vereinfachen:$$\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}\cdot2x=\frac xr$$$$\frac{\partial r}{\partial y}=\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}\cdot2y=\frac yr$$$$\frac{\partial\varphi}{\partial x}=\frac{1}{1+\left(\frac yx\right)^2}\cdot\left(-\frac{y}{x^2}\right)=-\frac{y}{x^2+y^2}=-\frac{y}{r^2}$$$$\frac{\partial\varphi}{\partial y}=\frac{1}{1+\left(\frac yx\right)^2}\cdot\frac{1}{x}=\frac{1}{1+\left(\frac yx\right)^2}\cdot\frac{x}{x^2}=\frac{x}{x^2+y^2}=\frac{x}{r^2}$$

Damit haben wir die gewünschte Darstellung gefunden:$$\frac{\partial}{\partial x}=\frac xr\,\frac{\partial}{\partial r}-\frac{y}{r^2}\,\frac{\partial}{\partial\varphi}$$$$\frac{\partial}{\partial y}=\frac yr\,\frac{\partial}{\partial r}+\frac{x}{r^2}\,\frac{\partial}{\partial\varphi}$$

Comments

Vielen Dank für deine Hilfe. Würdest du mir evtl noch bei folgender Aufgabe helfen?

https://www.mathelounge.de/909724/berechnen-sie-differenz-der-molwar…

Wäre super lieb :)

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Deine andere Frage wurde in den Chemie-Bereich verschoben...

Von Chemie habe ich leider zu wenig Ahnung.

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Das ding ist, dass das ne Matheaufgabe ist xD

Du hast quasi einfach nur Variablen und nach denen muss man umformen aber wie?