Bestimmen den Definitionsbereiche und leite ab.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die größtmöglichen Definitionsbereiche der folgenden Funktionen und berechnen Sie die
ersten Ableitungen. Vereinfachen Sie falls möglich die Ergebnisse.
\(\ln(x*e^{7x})\)

Problem/Ansatz:

Ich habe noch Schwierigkeiten beim Umformen des Logarithmus:

\(\ln(x*e^{7x}) = \ln(x) + \ln(e^{7x}) = \ln(x) + 7x * \ln(e) = \ln(x) + 7x * 1\)

oder

\(\ln(x*e^{7x}) =  7x * (\ln(x) + \ln(e)) = 7x * (\ln(x) + 1)\)

Welche Umformung ist richtig? Bzw. was mache ich falsch? Bevor ich ableiten kann

Vielen Dank für die Hilfe!

Answer 1

Das erste sieht schon gut aus

f(x) = LN(x·e^(7·x)) = LN(x) + 7·x

f'(x) = 1/x + 7

f''(x) = - 1/x^2

Comments

Also habe ich die zweite Umformung falsch gemacht?

Folgendes ist falsch oder?

LN(x·e^(7·x)) ≠ 7x * (LN(x) + LN(e) = LN(x^(7x)) + LN(e^(7x)) = LN( (x*e)^(7x) )

Ist meine Rechnung hier (oder meine Folgerung was falsch ist) richtig?

Danke für die Antwort. Wenn dem so ist, dann konnte ich echt nochmal etwas dazulernen.