Sinus hyperbolicus Beweisaufgabe

Question

Der Sinus hyperbolicus ist definiert durch $\sinh : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \sinh (x)=\frac{1}{2}\left(e^{x}-e^{-x}\right)$.
(i) Zeigen Sie $\sinh (x)<\sinh (y)$ für $x<y$ und $\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \sinh (x)=\infty, \lim \limits_{x \rightarrow-\infty} \sinh (x)=-\infty$
(ii) Zeigen Sie, dass sinh bijektiv und $\sinh ^{-1}$ stetig ist.

Bräuchte bei der (i) Hilfe. Finde einfach keine Lösung. Ich hoffe das hier jemand die Aufgabe lösen kann.

Answer 1

Aloha :)

Die Ableitung der Sinus-hyberbolicus-Funktion ist stets positiv$$\sinh'(x)=\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)'=\frac{e^x+e^{-x}}{2}>0$$weil $e^x>0$ für alle $x\in\mathbb R$. Daher ist $\sinh(x)$ streng monoton wachsend, d.h.$$x<y\quad\implies\quad\sinh(x)<\sinh(y)$$

Für die Grenzwerte gilt:$$\lim\limits_{x\to\infty}\sinh(x)=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\overbrace{e^x}^{\to\infty}\cdot\overbrace{(1-e^{-2x})}^{\to1}}{2}\to\infty$$$$\lim\limits_{x\to-\infty}\sinh(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\lim\limits_{x\to-\infty}\frac{\overbrace{e^{-x}}^{\to\infty}\cdot\overbrace{(e^{2x}-1)}^{\to(-1)}}{2}\to-\infty$$

Comments

Wie würden sie die Aufgabe ii) beweisen?

Answer 2

$\sinh (x)<\sinh (y)$ für $x<y$

Monotoniesatz. Zeige dass $\sinh'(x) > 0$ für jedes $x\in\mathbb{R}$ ist.

$\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \sinh (x)=\infty, \lim \limits_{x \rightarrow-\infty} \sinh (x)=-\infty$

Verwende Rechenregeln für Grenzwerte und das was du über den Verlauf der Exponentialfunktion weißt.