Maximum bestimmen durch Ableitung

Question

Ich habe die Gleichung x=2*$\sqrt{(h0-h2)*h2}$ .  x soll maximal werden und dafür muss ja $\frac{dx}{dh2}$ = 0

sein, ich weiß aber leider nicht mehr genau wie man das nun ableitet, am Ende kommt h2=h0/2 raus. Habe mich schon etwas rumprobiert, kam aber nicht zu Lösung. Vielen Dank vorab.

Comments

Es wird etwas einfacher, wenn du nicht x(h₂), sondern x²(h₂) ableitest.

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Maximum bestimmen durch Ableitung

Ist das die Originalaufgabe ("durch Ableitung"), oder ist das nur deine Interpretation?

Ohne Verwendung von Ableitungen geht es wesentlich einfacher.

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Die Aufgabe ist eine Interpretation. Die Aufgabe grundsätzlich habe ich verstanden, wollte nur nochmal wissen, wie diese Ableitung funktioniert.

Answer 1

Aloha :)

Die Ableitung von $x(h_2)=2\sqrt{(h_0-h_2)h_2}$ funktioniert mit der Kettenregel. Der Faktor $2$ vorne ist unkritisch, die Ableitung der Wurzelfunktion ist $\left(\sqrt x\right)'\to\frac{1}{2\sqrt x}$, sodass gilt:

$$x'(h_2)=2\cdot\underbrace{\frac{1}{2\sqrt{(h_0-h_2)h_2)}}}_{\text{äußere Ableitung}}\cdot\underbrace{\left(\,(h_0-h_2)h_2\,\right)'}_{=\text{innere Ableitung}}$$Die beiden Zweien kürzen wir raus und zur Berechnung der inneren Ableitung beachten wir die Umformung: $(h_0-h_2)h_2=h_0h_2-h_2^2$ und erhalten:

$$x'(h_2)=\cancel2\cdot\underbrace{\frac{1}{\cancel2\sqrt{(h_0-h_2)h_2)}}}_{\text{äußere Ableitung}}\cdot\underbrace{\left(\,h_0h_2-h_2^2\,\right)'}_{=\text{innere Ableitung}}=\frac{1}{\sqrt{(h_0-h_2)h_2)}}\cdot(h_0-2h_2)$$

Diese Ableitung ist gleich $0$, wenn der Zähler $=0$ wird, also für $h_2=\frac{h_0}{2}$

Comments

Super vielen Dank erstmal für die Antwort.

Ich habe probiert die Wurzel in x$x^{1/2}$ zu schreiben und das dann abzuleiten, dass hat aber nicht geklappt.

Aber kurze Frage noch zum letzten Schritt. Da man weiß, dass die Ableitung 0 ist, kann man den Zähler einfach 0 setzen?

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Wann ist ein Bruch 0?

Eine typische Frage für den Mathematikunterricht der Klassen 5 und 6.

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Ja, ein Bruch $\frac ab$ ist genau dann $=0$, wenn der Zähler $a=0$ und der Nenner $b\ne0$ ist. Du kannst dir das bildlich vorstellen. Wenn du nichts, auf eine Anzahl von Personen aufteilst, bekommt jede Person nichts. Der Bruchteil, den jede Person erhält, ist also $0$.

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Klar wusste natürlich, dass es 0 ist, hätte nur nicht gedacht, dass die Lösung dann so einfach ist xD.