Zur Fehlerabschätzung musst du den ersten Term nach dem Abbruch der Taylorreihe betrachten. Wir haben nach dem 2-ten Term bei abgebrochen, also interessiert uns nun der dritte Term:3!1f′′′(η)⋅(x−x0)3Beachte einen feinen Unterschied. Die Ableitung wird nun nicht mehr an der Stelle x0, sondern an einer Stelle η genommen. Dieses η muss zwischen x0 und x liegen und so gewählt werden, dass der Betrag des Term maximal wird. Das gibt dann den Fehler.
In diesem Fall hier ist:f′′′(x)=−815(1+x)−27Das führt auf den Fehlerterm:−3!⋅815(1+η)271⋅(x−x0)3Das Intervall ist x∈[0∣1] und x0=0. Wir wählen η=0, weil der Nenner dafür minimal bzw. der Bruch maximal wird. Damit erhalten wir für x∈[0∣1] als größten Fehler:Δf=∣∣∣∣∣∣−6⋅815(1+0)271⋅(x−0)3∣∣∣∣∣∣=165∣∣∣x3∣∣∣;x∈[0∣1]Da x∈[0∣1] liegt, ist also der maximale Fehler im betrachteten Intervall 165.