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f : [12;1]R,x11+xf: [-\frac{1}{2};1]\rightarrow R, x \rightarrow \frac{1}{\sqrt{1 + x}}

Bestimmen Sie das Taylorpolynom T2(x;0) von f

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Aloha :)

Die Taylor-Formel 2-ter Ordung für eine Funktion f(x)f(x) um den Entwicklungspunkt x0x_0 lautet allgemein:f(x)f(x0)+f(x0)(xx0)+12f(x0)(xx0)2f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)+\frac12f''(x_0)\cdot(x-x_0)^2

Wir brauchen also Funktionswert und die ersten beiden Ableitungen an der Stelle x0=0x_0=0:f(x)=11+x=(1+x)12    f(0)=1f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x}}=(1+x)^{-\frac12}\implies f(0)=1f(x)=12(1+x)32    f(0)=12f'(x)=-\frac12(1+x)^{-\frac32}\implies f'(0)=-\frac12f(x)=34(1+x)52    f(0)=34f''(x)=\frac34(1+x)^{-\frac52}\implies f''(0)=\frac34

Das setzen wir in die Taylor-Formel ein:f(x)1+(12)(x0)+1234(x0)2f(x)\approx1+\left(-\frac12\right)\cdot(x-0)+\frac12\cdot\frac34\cdot(x-0)^2f(x)1x2+3x28f(x)\approx1-\frac x2+\frac{3x^2}{8}

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Danke für die Antwort, Ich glaube, ich habe es verstanden.

Ich habe noch eine Aufgabe, die mit der obigen Aufgabe zusammenhängt:

Bestätigen Sie mithilfe der Lagrange-Restglieddarstellung, dass f durch das in (a) bestimmte Taylorpolynom T2(x; 0) auf dem Intervall [0; 1] bis auf einen Fehler von höchstens 5/16 approximiert wird. wie löse ich diese Aufgabe?

Zur Fehlerabschätzung musst du den ersten Term nach dem Abbruch der Taylorreihe betrachten. Wir haben nach dem 2-ten Term bei abgebrochen, also interessiert uns nun der dritte Term:13!f(η)(xx0)3\frac{1}{3!}f'''(\eta)\cdot(x-x_0)^3Beachte einen feinen Unterschied. Die Ableitung wird nun nicht mehr an der Stelle x0x_0, sondern an einer Stelle η\eta genommen. Dieses η\eta muss zwischen x0x_0 und xx liegen und so gewählt werden, dass der Betrag des Term maximal wird. Das gibt dann den Fehler.

In diesem Fall hier ist:f(x)=158(1+x)72f'''(x)=-\frac{15}{8}(1+x)^{-\frac72}Das führt auf den Fehlerterm:153!81(1+η)72(xx0)3-\frac{15}{3!\cdot8}\,\frac{1}{{(1+\eta)}^{\frac72}}\cdot(x-x_0)^3Das Intervall ist x[01]x\in[0|1] und x0=0x_0=0. Wir wählen η=0\eta=0, weil der Nenner dafür minimal bzw. der Bruch maximal wird. Damit erhalten wir für x[01]x\in[0|1] als größten Fehler:Δf=15681(1+0)72(x0)3=516x3;x[01]\Delta f=\left|-\frac{15}{6\cdot8}\,\frac{1}{{(1+0)}^{\frac72}}\cdot(x-0)^3\right|=\frac{5}{16}\left|x^3\right|\quad;\quad x\in[0|1]Da x[01]x\in[0|1] liegt, ist also der maximale Fehler im betrachteten Intervall 516\frac{5}{16}.

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