Grenzwert einer Folge bestimmen mit Hilfe von Rechenregeln

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Folge \( \frac{(-n+\frac{1}{n})^4}{(2n^2-n)^2} \)

Problem/Ansatz:

Ich muss hier den Grenzwert bestimmen mit Hilfe von den Rechenregeln für Grenzwerte, leider habe ich keine Ahnung, welche Regel ich anwenden muss, oder wie ich vorgehen soll.

Answer 1

Aloha :)

Zuerst vereinfachst du den Term:$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\left(-n+\frac1n\right)^4}{(2n^2-n)^2}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\left[n\cdot\left(-1+\frac1{n^2}\right)\right]^4}{\left[n^2\cdot\left(2-\frac1n\right)\right]^2}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^4\cdot\left(-1+\frac1{n^2}\right)^4}{n^4\cdot\left(2-\frac1n\right)^2}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\left(-1+\frac1{n^2}\right)^4}{\left(2-\frac1n\right)^2}$$

Jetzt wendest du die Grenzwertsätze an: Der Grenzwert einer Summe ist gleich der Summe der Grenzwerte, falls(!) diese Grenzwerte existieren. Dasselbe gilt für Differenz, Produkt und Quotient.

Damit schreibst du weiter:$$=\frac{\lim\limits_{n\to\infty}\left(-1+\frac1{n^2}\right)^4}{\lim\limits_{n\to\infty}\left(2-\frac1n\right)^2}=\frac{\left(\lim\limits_{n\to\infty}\left(-1+\frac1{n^2}\right)\right)^4}{\left(\lim\limits_{n\to\infty}\left(2-\frac1n\right)\right)^2}=\frac{\left(-1+\lim\limits_{n\to\infty}\frac1{n^2}\right)^4}{\left(2-\lim\limits_{n\to\infty}\frac1n\right)^2}=\frac{(-1+0)^4}{(2-0)^2}=\frac14$$

Answer 2

n ausklammern und dann mit n^4 kürzen.

Comments

meine Rechnung

\( \frac{(-n+\frac{1}{4})^4}{(2n^2-n)^2} \)

=  \( \frac{(-n+\frac{1}{4})^4}{n^2(4n^2-n)} \)

=  \( \frac{-n^4+\frac{1}{4}^4}{4n^4-n^3} \)  / n^4 im Zähler und Nenner kürzen

= \( \frac{-\frac{1}{4}^4}{4-n^3} \)

Das habe ich raus bekommen, aber in den Lösungen ist \( \frac{1}{4} \) als Grenzwert gegeben

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Hast du bei den Umformungen auch an die

binomischen Formeln gedacht.

Betrachte mal lieber die 2. Lösung.