Wie begründet man die Entscheidung, ob die linearen Kongruenzen lösbar ist oder nicht?

Question

Text erkannt:

Entscheiden Sie begründet, ob das folgende System linearer Kongruenzen lösbar ist.
\( \begin{array}{ll} x \equiv 23 & (\bmod 60) \\ x & \equiv 317 & (\bmod 450) \\ x & \equiv 617 & (\bmod 750) \end{array} \)

Chinesischer Restsatz

Hallo Mathelounge Community, ich bräuchte Hilfe zu dieser Aufgabe. Wie begründet man die Entscheidung, ob die linearen Kongruenzen lösbar ist oder nicht?

Ich bedanke mich für eure Hilfe.

Answer 1

Aus der ersten Kongruenz folgt, dass x bei Teilung durch 5 den Rest 3 lässt.

Aus der zweiten und dritten Kongruenz folgt, dass x bei Teilung durch 5 den Rest 2 lässt.

PS: Es weäre schön gewesen, wenn du vor der Frage

Wie begründet man die Entscheidung, ob die linearen Kongruenzen lösbar ist oder nicht?

erst mal dein eigenes Ergebnis mitgeteilt hättest.

Answer 2

Im Wikipedia-Artikel zum chinesischen Restsatz gibt es eine notwendige und hinreichende Bedingung, wann das System

      \(x \equiv a_i \mod m_i\qquad i\in \{1,\dots,n\}\)

loesbar ist, naemlich wenn

      \(a_i \equiv a_j\mod \operatorname{ggT}(m_i,m_j)\)

fuer alle \(i,j\in \{1,\dots,n\}\) mit \(i\neq j\) gilt.