Teleskopsumme 1/(i(1+i)) ohne Taschenrechner

Question

Wie kann man diese Aufgabe ohne taschenrechner lösen s= 7 Summe i =1    1 geteilt durch i(i+1)?? ich weiß, dass ich für i die zahlen 1 bis 7 einsetzen muss jedcoh darf ich in der klausur kein taschenrechner benutzen und das wird dann zu schwer ohne taschenrechner. ich hab gehört mit der teleskopsumme geht das auch aber ist zu kompliziert bitte helft mir

$$ \sum_{i=1}^7 \frac{1}{i(i+1)} $$

Comments

Meinst du: $$\sum_{i=0}^7 \frac{1}{i(i+1)$$ ? Mach eine partialbruchzerlegung, dann ergibt sich eine Teleskopsumme.

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genau das ist das problem wie funktioniert denn die partialbruchzerlegung???

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Wenn genau das das Problem ist, wieso erwähnst du es nicht gleich? Ganz stinknormaler Partialbruchzerlegungsansatz für $$\frac{1}{i(i+1)$$ in $$\frac{1}{i}$$ und $$\frac{1}{i+1}$$ in der von der bevorzugten Form.

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ich hab mir ein beispiel angeguckt und da steht a durch n + b durch n+2 = (a+b)*n+2a geteilt durch n*(n+2) so und da steht jetzt gleichsetzten aber ich weiß nicht wie das geht

Answer 1

Partialbruchzerlegung 1/(i(i+1)) = 1/i - 1/(i+1) 

Vgl:

https://www.mathelounge.de/83067/umformen-in-einer-folge-aj-1-j-j-1-1-j-1-j-1

∑ (1/i - 1/(i+1))      von i=1 bis 7

= 1/1-1/2 + 1/2-1/3+.... +1/7-1/8

= 1-1/8

=7/8

Comments

also kann ich auch einfach so schreiben 1 durch 1 -     1 durch 7+1 weil der zwischenschritt ist ohne taschenrechner nicht lösbar

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Ich habe doch keinen Taschenrechner benutzt.
Welchen Zwischenschritt meinst du denn?

Im Zweifelsfall kannst du alle Zahlen in die … der oberen Zeile eintragen und dann die Nullen rausstreichen. Es bleibt nur 1-1/8.

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diesen schritt mein ich = 1/1-1/2 + 1/2-1/3+.... +1/7-1/8

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1/1-1/2 + 1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+1/5-1/6+1/6-1/7 +1/7-1/8

Im Zweifelsfall kannst du alle Zahlen in die … der oberen Zeile eintragen und dann die Nullen rausstreichen. Es bleibt nur 1-1/8.

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aber in der klausur darf ich doch dann bestimmt einfach (1durch1) -(1 durch 7+1) rechnen oder weil das ergebnis ist ja gleich

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Ja. Aber schreibe die Zwischenzeile mit den Pünktchen hin, damit der Weg vollständig ist.