Aufgabe:
Es sei \( n \in \mathbb{N} \) beliebig.(a) Für \( a_{1}, \ldots, a_{n} \in \mathbb{R} \) gilt\(\sum \limits_{k=1}^{n} a_{k} \leq \sqrt{n}\left(\sum \limits_{k=1}^{n} a_{k}^{2}\right)^{1 / 2}\)(b) Für \( a_{1}, \ldots a_{n} \in \mathbb{R} \) und \( 0<p<1 \) gilt\(\sum \limits_{k=1}^{n} a_{k} \leq\left(\sum \limits_{k=1}^{n}\left|a_{k}\right|^{2 p}\right)^{1 / 2}\left(\sum \limits_{k=1}^{n}\left|a_{k}\right|^{2-2 p}\right)^{1 / 2}\)
Problem/Ansatz:
Wie wendet man hier die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung an?
Vom Duplikat:
Titel: Ungleichungen wie zeigen
Stichworte: lineare-algebra,ungleichungen,summe
Hier sollen glaube ich jeweils die Ungleichungen gezeigt werden hat da jemand einen Plan?
Benutze die Cauchy Schwsrz Ungleichung
Wie lautet denn die CSU - in Deinen Bezeichnungen?
a) Betrachte das (Standard)Skalarprodukt \( \left\langle (1,....,1) , (a_1,...,a_n) \right\rangle \)
b) Betrachte das (Standard)Skalarprodukt \( \left\langle (|a_1|^p,...,|a_n|^p) , (|a_1|^{1-p},...,|a_n|^{1-p}) \right\rangle \)
und verwende
$$ \sum_{k=1}^n a_k \le \sum_{k=1}^n |a_k| $$
a) Verwende \( \vec{v}= \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2\\ \dots \\a_n \end{pmatrix} \)
und \( \vec{u}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ \dots \\1 \end{pmatrix} \) also n Komponenten vom Wert 1.
Cauchy-Schwarz liefert |<u,v>| ≤ ||u||*||v||
==> \(|\sum \limits_{k=1}^{n} a_{k} | \leq \sqrt{n}\left(\sum \limits_{k=1}^{n} a_{k}^{2}\right)^{1 / 2}\)
Und wenn du links den Betrag weglässt, stimmt es erst recht;
denn die rechte Seite ist ja sicher nicht negativ.
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