Partielle Ableitung der Funktion

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die partielle Ableitung f ′₂(x₁,x₂) der Funktion

\( f\left(x_{1}, x_{2}\right)=x_{2}^{6} \cdot \ln\LARGE \left(\frac{x_{1}^{6}}{x_{2}^{4}+x_{1}^{3}}\right) \)

an der Stelle \(a= \left(\begin{array}{l}1.42 \\ 1.12\end{array}\right) \)

Lösung = 3,99

Problem/Ansatz:

Wie kommt man auf diese Lösung?

Comments

Lösung = 3,99

Die Lösung ist nicht = 3,99 sondern ≈ 3,9924651985...

Answer 1

f nach x₂ ableiten (x₁ wird wie eine Konstante behandelt):

Erst mal Produktregel mit u=x₂⁶ und v=\( \ln \left(\frac{x_{1}^{6}}{x_{2}^{4}+x_{1}^{3}}\right) \)

also u ' = 6x₂⁵

und v ' = \( \frac{x_{2}^{4}+x_{1}^{3}}{x_{1}^{6}} \)mal Ableitung der inneren Funktion (Kettenregel) ,

also v ' = \( \frac{x_{2}^{4}+x_{1}^{3}}{x_{1}^{6}} \cdot \frac{-4x_2^3x_{1}^{6}}{(x_{2}^{4}+x_{1}^{3})^2} =\frac{-4x_2^3}{x_{2}^{4}+x_{1}^{3}} \)

Jetzt nach der Produktregel bilden u * v' +u' * v .

Und dann (oder besser vorher ) die Zahlen einsetzen , das

gibt bei u = 1,12^6 =1,97  und u' = 10,57

v=0,61   und v'=-1,27

Gibt (hab wohl etwas zu viel gerundet) 3,95

Answer 2

f(x, y) = y^6·LN(x^6/(y^4 + x^3))

f'y(x, y) = 6·y^5·LN(x^6/(x^3 + y^4)) - 4·y^9/(x^3 + y^4)

f'y(1.42, 1.12) = 6·1.12^5·LN(1.42^6/(1.42^3 + 1.12^4)) - 4·1.12^9/(1.42^3 + 1.12^4) = 3.992465198