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Der Blutspiegelverlauf nach einer intravenösen Arzneistoffinjektion eines hydrophilen Arzneistoffs läßt
sich als

S(t) = S0 * e-kt
wobei t>=  0 die Zeit nach der Injektion bezeichnet. S0 > 0 sei die injizierte Arzneistomenge und k > 0
die Eliminationsgeschwindigkeitskonstante.

(i) Berechnen Sie (in Abhängigkeit von S0 und k) die absolute Bioverfügbarkeit, BS, welche durch den
Inhalt der Fläche unter der Kurve von S(t) gegeben ist, d.h.

BS =∫ (unten am Interalzeichen steht 0 und oben unendlich) S(t) dt.

(ii) Wird das gleiche Arzneistoffmittel oral verabreicht, so wird der Blutspiegelverlauf durch folgende
Funktion beschrieben
C(t) = gamma * (e-kt -  ealpha*t      (nur das was in der Klammer steht, steht im exponenten)
t>= 0
wobei
gamma > 0 und a > k seien.
Bestimmen Sie die Konstante gamma so, dass die absolute Bioverfügbarkeit

BC = ∫ (unten am Interalzeichen steht 0 und oben unendlich) C(t) dt mit der von S, also mit BS, übereinstimmt.

(iii) Begründen Sie, dass die Funktion t -> C(t) ein eindeutiges Maximum annimmt und bestimmen Sie
den Zeitpunkt tc, an dem dieses Maximum angenommen wird.

(iv) Es sei gamma > 0, die in (ii) bestimmte Konstante. Vergleichen Sie die Werte S(tc) und C(tc).
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  die Funktion heißt wohl

  S ( t  ) = S0 * e^{-kt}

  Stammfunktion : S0 * (-1/k) * e^{-kt}

  BS = [ S0 * (-1/k) * e^{-kt} ]0
  BS = 0 + S0 / k
  BS = S0 / k

  (II) die Formel heißt wohl
  C ( t ) = gamma * ( e^{-kt} -  e^{alpha*t} )
  kann ich aber nichts mit anfangen, da zu viele
Unbekannte  vorhanden sind.

( III )
C ´ ( t ) = gamma * [ e^{-kt} * (-k) - e^{alpha*t}*alpha ]
0 = gamma * [ e^{-kt} * (-k) - e^{alpha*t}*alpha ]
e^{-kt} * (-k)  =  e^{alpha*t}*alpha
e^{alpha*t} / e^{-kt}  = (-k) / alpha
e^{alpha*t+kt} = (-k) / alpha
alpha*t +k*t = ln ( -k / alpha )
t  * ( alpha + k ) = ln ( -k / alpha )
t =  ln ( -k / alpha ) /  ( alpha + k )
Da k > 0 und alpha > 0 dürfte der ln ( -k / alpha ) nicht möglich sein

Alles in allem eine für mich komplett verworrene Aufgabe.

Dann bin ich einmal gespannt ob jemand was herausbekommt.

mfg Georg


 


 

1 Antwort

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Ich würde das wie folgt lösen:

Integration: Bioverfügbarkeit bei Arzneimitteln

Der Blutspiegelverlauf nach einer intravenösen Arzneistoffinjektion eines hydrophilen Arzneistoffs lässt sich beschreiben als

S(t) = S0·e^{- k·t}

wobei t ≥ 0 die Zeit nach der Injektion bezeichnet. S0 > 0 sei die injizierte Arzneistoffmenge und k > 0 die Eliminationsgeschwindigkeitskonstante.

(i) Berechnen Sie (in Abhängigkeit von S0 und k) die absolute Bioverfügbarkeit (BS), welche durch den Inhalt der Fläche unter der Kurve von S(t) gegeben ist, d.h.

BS = ∫ (0 bis ∞) S(t) dt

BS = (- S0/k·e^{- k·∞}) - (- S0/k·e^{- k·0})

BS = S0/k

(ii) Wird das gleiche Arzneistoffmittel oral verabreicht, so wird der Blutspiegelverlauf durch folgende Funktion beschrieben

C(t) = γ·(e^{- k·t} - e^{- a·t})

mit t ≥ 0, γ > 0 und a > k seien. Bestimmen Sie die Konstante γ so, dass die absolute Bioverfügbarkeit BC mit der von S, also mit BS, übereinstimmt.

BC = ∫ (0 bis ∞) C(t) dt
BC = γ·(e^{- a·∞}/a - e^{- k·∞}/k) - γ·(e^{- a·0}/a - e^{- k·0}/k)
BC = - γ·(1/a - 1/k)

BC = BS

- γ·(1/a - 1/k) = S0/k

γ = a·S0/(a - k)

(iii) Begründen Sie, dass die Funktion C(t) ein eindeutiges Maximum annimmt und bestimmen Sie den Zeitpunkt tc, an dem dieses Maximum angenommen wird.

C'(t) = γ·(a·e^{- a·t} - k·e^{- k·t}) = 0

a·e^{- a·t} - k·e^{- k·t} = 0
tc = LN(a/k)/(a - k)

(iv) Es sei γ > 0, die in (ii) bestimmte Konstante. Vergleichen Sie die Werte S(tc) und C(tc).

S(tc) = S0·e^{- k·LN(a/k)/(a - k)} = s·(a/k)^{k/(k - a)}

C(tc) = a·S0/(a - k)·(e^{- k·LN(a/k)/(a - k)} - e^{- a·LN(a/k)/(a - k)}) = S0·(a/k)^{k/(k - a)}

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@Mathecoach

  heißt es nicht in der Aufgabenstellung

  (II) C(t) = gamma * (e-kt -  ealpha*t 

  oder bereinigt in meinem Kommentar

  C ( t ) = gamma * ( e-kt -  ealpha*t )

   bei dir steht noch ein minus im Exponenten

   C(t) = γ·(e- k·t - e- a·t )

   mfg Georg

Ich vermutete das die gegebene Funktion hier verkehrt angegeben worden ist.

Was würde mit C(t) passieren wenn dort nur a*t steht und a positiv ist und das t dann gegen unendlich geht?

Aus dem Grund vermute ich dort ebenfalls ein negatives Vorzeichen. Ich habe das daher einfach mal ergänzt.
Sollte das dort tatsächlich nicht stehen, dann notfals bescheid geben. Aber ansich macht die Funktion ohne das weitere Minus meiner Meinung nach keinen Sinn.
@mathecoach

  dann hattest du schon weiter gedacht als ich.

  mfg Georg

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