Komplexe Zahlen, Menge zeichnen

Question

Hallo, kann mir jemand bitte helfen wie ich die folgende Menge zeichnen muss?

{z∈ℂ| |z-2|=|z+2|}

Ich habe im Koordinatensystem bei x=-2 und x=2 jeweils ein Kreuz gezeichnet, aber weiter weiß ich leider nicht.

Answer 1

Hallo Melina,

zeichne doch mal einen Punkt auf ein Papier und schreibe \(z\) dran. Dann hast Du die Zahl \(z\) auf der Gauß'schen Zahlenebene. Wo ist jetzt die Zahl \(z+2\) und wo die Zahl \(z-2\)?

Das sind zwei neue Punkte auf Deinem Papier. Der 'Betrag' dieser Punkte ist doch der Abstand der Punkte zum Ursprung - bzw. zur Zahl \(z=0\). Und dieser Abstand soll für beide gleich sein!

Wo liegen alle Punkte, die zu den beiden Punkten \(z-2\) und \(z+2\) den gleichen Abstand haben?

Kommst Du zurecht? Falls nicht, bitte melden

Gruß Werner

Comments

Oka dankeschön! :) ich habe es verstanden.

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Ich hätte noch eine andere Frage, ich muss folgendes zeichnen:

{z∈ℂ| z=z‾ }

es gilt ja z=a+bi und das konjugierte dazu, also

z‾=a-bi. Muss ich hier genau so vorgehen wie bei der ersten Aufgabe?

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ich muss folgendes zeichnen: {z∈ℂ| z=z‾ }

Ja dann tue es doch einfach! Nehme ein Koordinatensystem (die Gauß'sche Zahlenebene) und mache irgendwo(!) eine Punkt und schreibe \(z\) dran. Und dann mache einen zweiten Punkt dort wo \(\overline z\) hin gehört.

Normalerweise fallen beide Punkte nicht zusammen. Wo muss man nun den Punkt \(z\) hin schieben, damit beide zusammen fallen - also \(z=\overline z\) gilt?

Rechnerisch ginge es so:$$\begin{aligned}z &= \overline z \\ a + bi &= a - bi&&|\,-a\\ bi &=-bi &&|\, \cancel{\div b}\end{aligned}$$wenn man am Ende durch \(b\) dividieren würde, steht \(i=-i\) dort und das ist falsch. Die Gleichung ist nur erfüllbar, wenn \(b=0\) ist.

Tipp: Mathematik ist wie fahrrad fahren. Man lernt es nicht durch zusehen!

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Ich wollte nur sicher gehen

Answer 2

Es geht um die Menge aller Punkte die von (2 | 0) den gleichen Abstand haben wie von (-2 | 0).

Zeichnerisch dürfte das klar sein. Jetzt rechnerisch:

|z - 2| = |z + 2|

|x + yi - 2| = |x + yi + 2|

|(x - 2) + yi| = |(x + 2) + yi|

|(x - 2) + yi|^2 = |(x + 2) + yi|^2

(x - 2)^2 + y^2 = (x + 2)^2 + y^2

(x - 2)^2 = (x + 2)^2

x^2 - 4x + 4 = x^2 + 4x + 4

- 4x = 4x

x = 0

Comments

Okay dankeschön :) die Rechnung habe ich verstanden :)