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hey,

bin neu in diesem forum und wollte es mal austesten....

brauce dringend hilfe bei einer matheaufgabe, die ich von grund aus nicht verstehe, deshalb bitte ich euch dringend um hilfe.

 

2 ganzzahlige vektoren z und zÂŽ sind gegeben im gitter Z x Z, sodass die Matrix , die aus den Vektoren z, zÂŽ zusammengesetzt ist, die determinante 1 besitzt.

ich soll nun beweisen, dass weder im Innern noch auf dem rand de von z und zÂŽ  aufgespannten parallelogramms (spric, parallelogramm mit den eckpunkten 0, z,zÂŽ,z+zÂŽ)  weitere gitterpunkte liegen, außer diesen 4 ecken.

 

wie gehe ich da vor??

brauche dringend hilfe
Gefragt von
Hier ein paar Fakten zu Determinanten und Gitterpunkten.

Determinante = 1, heisst FlÀche des aufgespannten Parallelogramms ist 1. Zwischenwinkel >0.

FlÀche Parallelogramm = SeitenlÀnge * zugehörige Höhe

SeitenlĂ€ngen zwingend ≄ 1.

FĂŒr die korrekte Höhe mĂŒsste man eine Gerade betrachten, die 1/SeitenlĂ€nge von der ersten Seite entfernt sein. Die könnte man vielleicht mit dem Abstand der Gitterpunkte in dieser Richtung vergleichen.

Vielleicht nĂŒtzt dir das was.
Ist ĂŒbrigens eine Ă€hnliche Frage wie:

https://www.mathelounge.de/1647/geometriefrage-rechteck-im-koordinatensystem?show=1651#a1651

Parallelogramme sind natĂŒrlich heikler.

1 Antwort

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Sei z = (x, y), z' = (v, w), dann gilt:

det (z, z') = x*w - y*v = 1

x*w = 1+yv

x = (1+yv)/w

Damit x eine ganze Zahl ist, muss also w ein Teiler von 1+yv sein, mit anderen Worten mĂŒssen y und v teilerfremd zu w sein (es sei denn w ist 1).
 

Damit ein Punkt im Innern/auf dem Rand des Parallelogramms liegt, muss ein ganzes Zahlenpaar (s, t) existieren, mit:

(s, t) = k*(x, y) + (1-k)*(v, w), fĂŒr irgendein k zwischen 0 und 1

(s, t) = k*((1+yv)/w, y) + (1-k)*(v, w) = (v + k*((1+yv)/w-v), w + k*(y-w))

Insgesamt ist das Ergebnis also dann ein Paar ganzer Zahlen, wenn

k*((1+yv)/w-v) und k*(y-w) gleichzeitig ganze Zahlen sind.

 

Eine lineare Funktion a*x nimmt im Intervall [0, 1] genau a mal einen ganzzahligen Wert an und zwar in Ă€quidistanten AbstĂ€nden 1/a. Damit die beiden Funktionen also gleichzeitig einen ganzzahligen Wert annehmen, dĂŒrfen die Anstiege nicht teilerfremd sein, das heißt die Division

((1+yv)/w-v)/(y-w)

muss restfrei durchfĂŒhrbar sein. Das bedeutet aber, dass y=w eine Nullstelle des ZĂ€hlers sein muss:

(1+w*v)/w - v = 1/w ≠ 0

Also kann das Parallelogramm fĂŒr w < ∞ keinen Gitterpunkt beinhalten.

 

Ich befĂŒrchte, dass da irgendwo der Wurm drin ist, ĂŒber Korrekturen oder auch nur Hinweise wĂŒrde ich mich sehr freuen. Auf den ersten Blick scheint mir aber ein richtiger Gedanke drin zu stecken :-)
Beantwortet von 10 k

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