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hey,

bin neu in diesem forum und wollte es mal austesten....

brauce dringend hilfe bei einer matheaufgabe, die ich von grund aus nicht verstehe, deshalb bitte ich euch dringend um hilfe.

 

2 ganzzahlige vektoren z und z´ sind gegeben im gitter Z x Z, sodass die Matrix , die aus den Vektoren z, z´ zusammengesetzt ist, die determinante 1 besitzt.

ich soll nun beweisen, dass weder im Innern noch auf dem rand de von z und z´  aufgespannten parallelogramms (spric, parallelogramm mit den eckpunkten 0, z,z´,z+z´)  weitere gitterpunkte liegen, außer diesen 4 ecken.

 

wie gehe ich da vor??

brauche dringend hilfe
Gefragt von
Hier ein paar Fakten zu Determinanten und Gitterpunkten.

Determinante = 1, heisst Fläche des aufgespannten Parallelogramms ist 1. Zwischenwinkel >0.

Fläche Parallelogramm = Seitenlänge * zugehörige Höhe

Seitenlängen zwingend ≥ 1.

Für die korrekte Höhe müsste man eine Gerade betrachten, die 1/Seitenlänge von der ersten Seite entfernt sein. Die könnte man vielleicht mit dem Abstand der Gitterpunkte in dieser Richtung vergleichen.

Vielleicht nützt dir das was.
Ist übrigens eine ähnliche Frage wie:

https://www.mathelounge.de/1647/geometriefrage-rechteck-im-koordinatensystem?show=1651#a1651

Parallelogramme sind natürlich heikler.

1 Antwort

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Sei z = (x, y), z' = (v, w), dann gilt:

det (z, z') = x*w - y*v = 1

x*w = 1+yv

x = (1+yv)/w

Damit x eine ganze Zahl ist, muss also w ein Teiler von 1+yv sein, mit anderen Worten müssen y und v teilerfremd zu w sein (es sei denn w ist 1).
 

Damit ein Punkt im Innern/auf dem Rand des Parallelogramms liegt, muss ein ganzes Zahlenpaar (s, t) existieren, mit:

(s, t) = k*(x, y) + (1-k)*(v, w), für irgendein k zwischen 0 und 1

(s, t) = k*((1+yv)/w, y) + (1-k)*(v, w) = (v + k*((1+yv)/w-v), w + k*(y-w))

Insgesamt ist das Ergebnis also dann ein Paar ganzer Zahlen, wenn

k*((1+yv)/w-v) und k*(y-w) gleichzeitig ganze Zahlen sind.

 

Eine lineare Funktion a*x nimmt im Intervall [0, 1] genau a mal einen ganzzahligen Wert an und zwar in äquidistanten Abständen 1/a. Damit die beiden Funktionen also gleichzeitig einen ganzzahligen Wert annehmen, dürfen die Anstiege nicht teilerfremd sein, das heißt die Division

((1+yv)/w-v)/(y-w)

muss restfrei durchführbar sein. Das bedeutet aber, dass y=w eine Nullstelle des Zählers sein muss:

(1+w*v)/w - v = 1/w ≠ 0

Also kann das Parallelogramm für w < ∞ keinen Gitterpunkt beinhalten.

 

Ich befürchte, dass da irgendwo der Wurm drin ist, über Korrekturen oder auch nur Hinweise würde ich mich sehr freuen. Auf den ersten Blick scheint mir aber ein richtiger Gedanke drin zu stecken :-)
Beantwortet von 10 k

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