Integrale bestimmen: Exponentialfunktion

Question

Hallo Leute!

Könntet ihr kontrollieren, ob meine Lösungen richtig sind? Da sind außerdem zwei Aufgaben dabei, die ich nicht ganz verstehe. Hoffe ihr könnt mir da helfen!

Bestimmen Sie die Integrale:

a)  ∫1,5^x dx                     (Integral oben: 3, unten: 2)

[ 1/ln(1,5) * 1,5^x ]            

b)  ∫0,4^x dx                    (Integral oben: 5, unten: 0)

[ 1/ln(0,4) * 0,4^x ]

c)  ∫3 * 2^3x dx                 (Integral oben: 4, unten: 1)

d)  ∫3^-x+2 dx                    (Integral oben: 1, unten: 0,5)

Answer 1

Aloha :)

Da alle 4 Integrale vom gleichen Typ sind, machen wir uns zunächst grundlegende Gedanken zum Integral von $a^x$. zu seiner Berechnung nutzen wir aus, dass sich die Exponentialfunktion und die Logarithmusfunktion gegenseitig kompensieren:$$\int a^x\,dx=\int e^{\ln(a^x)}\,dx=\int e^{x\cdot\ln(a)}\,dx=\frac{e^{x\cdot\ln(a)}}{\ln(a)}+C=\frac{1}{\ln(a)}\,a^x+C$$Zum Integrieren von $a^x$ brauchen wir also nur durch $\ln(a)$ zu dividieren:

$$\int\limits_2^31,5^x\,dx=\left[\frac{1,5^x}{\ln(1,5)}\right]_2^3\approx2,7746$$$$\int\limits_0^50,4^x\,dx=\left[\frac{0,4^x}{\ln(0,4)}\right]_0^5\approx1,0802$$$$\int\limits_1^43\cdot2^{3x}\,dx=3\int\limits_1^4{(2^3)}^x\,dx=3\int\limits_1^48^x\,dx=3\left[\frac{8^x}{\ln(8)}\right]_1^4\approx5897,7$$

Beim letzten Integral müssen wir nochmal kurz nachdenken, weil dort ein Minus vor dem $x$ steht. Das geht aber mit demselben Trick vom Anfang, dass man Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion nutzt:$$\int\limits_{0,5}^13^{-x+2}dx=\int\limits_{0,5}^13^{-x}\cdot3^2dx=9\int\limits_{0,5}^1e^{\ln\left(3^{-x}\right)}dx=9\int\limits_{0,5}^1e^{-x\cdot\ln\left(3\right)}dx=9\left[\frac{e^{-x\cdot\ln(3)}}{-\ln(3)}\right]_{0,5}^1$$$$\phantom{\int\limits_{0,5}^13^{-x+2}dx}=-\frac{9}{\ln(3)}\left[3^{-x}\right]_{0,5}^1\approx1,9990$$

Answer 2

$\int\limits_{}^{}$ 3·2^3x dx=2^3x/ln(2).   

Answer 3

Zur Kontrolle

Bei Bedarf nachfragen

Answer 4

a) 1,5^x = e^(ln1,5^x)= e^(x*ln1,5)

Aus der 1. Ableitung kommt man schnell auf die Stammfkt.

f '(x)= e^(x*ln1,5)*ln1,5

-> F(x) = e^(x*ln1,5)/ln1,5 = 1,5^x/ln1,5 +C

Es gilt:

f(x) = a^x -> F(x) = a^x/lna

c) Die 3 vors Integral ziehen

d) 3² vors Integral ziehen

3^-x = 1/3^x = (1/3)^x