Vektor - orthogonal oder senkrecht

Question

Aufgabe:

a) Für welche β ∈ ℝ sind die Vektoren u=\( \begin{pmatrix} 4\\β\\2 \end{pmatrix} \) , w=\( \begin{pmatrix} -4\\4\\0 \end{pmatrix} \) orthogonal?

b) Bestimme den Vektor z der senkrecht auf den Vektoren x(2 5 1) und y=(2 1 2) steht. Gib die Lösung als Zeilenvektor an.

Problem/Ansatz:

Ergebnisse hatte ich aus der Vorlesung mitgenommen, jedoch fehlt mir der Rechnungsweg bzw. der Kontext. Vielleicht könnt ihr weiterhelfen.

Comments

"b) Bestimme den Vektor z der senkrecht auf den Vektoren x(2 5 1) und y=(2 1 2) steht."

Die Aufgabenstellung ist mangelhaft: es gibt nicht DEN Vektor,
der auf den anderen beiden senkrecht steht, sondern unendlich viele
solche Vektoren, die einen 1-dimensionalen Unterraum bilden.

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Am besten gibst du die Lösungen gleich mit an. Erst dann kann man versuchen die mangelhafte Fragestellung in einen Kontext zu stellen.

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Steht \(z\) senkrecht auf \(x\) und \(y\), so auch \(c\cdot z\)

für jedes \(c\) aus dem Skalarkörper, also z.B.

(-18,4,16) in unserem konkreten Fall.

Tschakabumba weist auch darauf hin, dass die

Lösung nur bis auf Proportionalität festgelegt ist.

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Mit du war mathedau gemeint. emanus Kommentar ist eigentlich eine vollwertige Antwort. Und zumindest bei der Herkunft der Frage als Rückmeldung wichtiger als irgendein Resultat.

Answer 1

Aloha :)

Die Vektoren sind orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt \(=0\) ist:$$0\stackrel!=\begin{pmatrix}4\\\beta\\2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-4\\4\\0\end{pmatrix}=-16+4\beta\implies4\beta=16\implies\beta=4$$Für \(\beta=4\) stehen die Vektoren orthogonal aufeinander.

Einen Vektor \(\vec z\), der orthogonal auf zwei Vektoren \(\vec x\) und \(\vec y\) steht, ist proportional zum Vektorprodukt:

$$\vec z=\vec x\times\vec y=\begin{pmatrix}2\\5\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10-1\\2-4\\2-10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9\\-2\\-8\end{pmatrix}$$Die Lösung als Zeilenvektor lautet daher \((9|-2|-8)\).

Comments

Vielen Dank! Das hat mir wirklich sehr geholfen :)