0 Daumen
774 Aufrufe

Aufgabe:

Vektorrechnung im Dreieck


Problem/Ansatz:

Könnte mir jemand kurz erklären wie man von der 3. Zeile des Nachweises auf die 4. Zeile kommt. Wie kann das -a am Ende zu a werden. Ich wäre dankbar für jede Hilfe! 7B90ED4F-FF72-4894-8028-BEE9E1ADD747.jpeg

Text erkannt:

eines Dreiecks ABC A B C einander in einem Punkt S S schneiden und dass dieser Schnittpunkt (der Schwerpunkt des Dreiecks genannt wird) jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2 : 1 2: 1 teilt. Man zeige hierzu, dass s=13(a+b+c) \vec{s}=\frac{1}{3}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) für die Ortsvektoren der Punkte S, A, B bzw. C gilt.
Nachweis:
Wir vergleichen a+23sa,b+23sb \vec{a}+\frac{2}{3} \vec{s}_{a}, \vec{b}+\frac{2}{3} \vec{s}_{b} und c+23sc \vec{c}+\frac{2}{3} \vec{s}_{c} als Ortsvektoren bezüglich \bigcirc .
Mit sa=12(b+c)a \vec{s}_{a}=\frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{c})-\vec{a} gilt:
a+23sa=23(12(b+c)a)=13(a+b+c) \vec{a}+\frac{2}{3} \vec{s}_{a}=\frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{c})-\vec{a}\right)=\frac{1}{3}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})
Ebenso erhält man:
b+23sb=13(a+b+c) \vec{b}+\frac{2}{3} \vec{s}_{b}=\frac{1}{3}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \quad und c+23sc=13(a+b+c) \quad \vec{c}+\frac{2}{3} \vec{s}_{c}=\frac{1}{3}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) Alle drei zu vergleichenden Ortsvektoren beschreiben also den Schnittpunkt S der Seitenhalbierenden eines Dreiecks ABC:
OS=s=13(a+b+c) \overrightarrow{O S}=\vec{s}=\frac{1}{3}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) .
Dieser Punkt S teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2 : 1. 2: 1 .

Avatar von

1 Antwort

0 Daumen
 
Beste Antwort

Richtig wäre a+23sa=a+23(12(b+c)a)=13(a+b+c). \vec{a}+\frac{2}{3} \vec{s}_{a} = \\ \red{\vec{a}+}\frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{c})-\vec{a}\right)=\\ \frac{1}{3}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}). Vermutlich wurde das rot Markierte vergessen.

Avatar von 27 k

Vielen Dank!

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage