Wachstum und Logarithmus. Die Bakterien verdoppeln sich alle 20 Minuten.

Question

Wie kommt man auf die Fehlenden Lücken der Tabelle ?Die Bakterien verdoppeln sich alle 20 Minuten

     

Zeit	0	?	20	?
Bakterien	1200	1500	2400	3500

Answer 1

Zunächst Wachstumsfaktor  λ bestimmen:

2 * N ( 0 ) = N ( 0 ) * e ^{( λ * 20 )}

<=> 2 = e ^{( λ * 20 )}

<=> ln ( 2) = 20 * λ

<=> λ = ln ( 2 ) / 20

 

Somit lautet die Wachstumsfunktion:

N ( t ) = N ( 0 ) * e ^{( ln ( 2 ) / 20 ) * t}

= 1200 * e ^{( ln ( 2 ) / 20 ) * t}

Auflösen nach t:

<=> t = ln ( N ( t ) / 1200 ) /  ( ln ( 2 ) / 20 )

= ln ( N ( t ) / 1200 ) * 20 / ln ( 2 )

 

Einsetzen:

N ( t ) = 1500:

t = ln ( 1500 / 1200 ) * 20 / ln ( 2 )

= 6,44 s

 

N ( t ) = 3500:

t = ln ( 3500 / 1200 ) * 20 / ln ( 2 )

= 30,89 s

Comments

wie muss man das in den Taschenrechner eingeben ? und wie kommt man genau auf die Funktionsgleichung ich hatte  dar 1200*1,04^t

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ich hatte  dar 1200*1,04^t

das ist ebenfalls richtig, da für

λ = ln ( 2 ) / 20 gilt :

1,04 ^t ≈ e ^{λ * t}

Ich setze exponentielle Zusammenhänge gerne mit der Exponentialfunktion an, muss dann aber einen zusätzlichen Faktor, nämlich den Wachstumsfaktor λ berücksichtigen. Genauso gut kann man aber statt

2 * N ( 0 ) = N ( 0 ) * e ^{( λ * 20 )}

auch

2 * N ( 0 ) = N ( 0 ) * a ²⁰

ansetzen und erhält dann:

<=> 2 = a ²⁰

<=> a = ²⁰√ 2 = 1,03526 ≈ 1,04

sodass die Wachstumsfunktion dann lautet:

N ( t ) = 1200 * 1,04 ^t