Warum brauchen wir dann auf einmal die E-Funktion und schreiben von Wachstumsfaktor und Wachstumskonstante?

Question

Aufgabe: Meine Frage ist ganz generell: Wir haben als Thema Exponentialfunktionen. Schon in der 10. Klasse haben wir doch mit Exponentialfunktionen gerechnet, Beispiel Zinseszins: 100 Euro als Startkapital und jährlich 2% Zinsen. nach 5 Jahren sind 110.41 Euro auf dem Konto.

Warum brauchen wir dann auf einmal die E-Funktion und schreiben von Wachstumsfaktor und Wachstumskonstante?

Answer 1

Die Ableitung von
f ( x ) = 2^x
könnte sich etwas schwierig gestalten.
Besser
Du kannst jede Exponentialfunktion in eine
Exponentialfunktion mit anderer Basis z.B e
umwandeln

2^x = e ^z | ln
ln ( 2^x ) = z
z = x * ln(2)

f ( x ) = e ^( x * ln(2) )
das Ableiten geht nun einfacher

[ e ^term ] ´ = e ^term * term ´
term = x * ln ( 2 )
term ´ = ln ( 2 )
 [ e ^( x * ln(2) ) ] ´ = e ^( x * ln(2) ) * ln(2)

Answer 2

Wenn ihr über die Ableitung sprecht, dann ist es rechnerisch etwas schwieriger einer beliebigen Exponentialfunktion, die Ableitung im Kopf zu bilden. Bei einer e-Funktion ist das sehr viel einfacher möglich. Darum kann man jede Exponentialfunktion in eine e-Funktion umschreiben.

f(x) = a * b^x

b ist hier übrigens der Wachstumsfaktor

f(x) = a * (e^ln(b))^x = a * e^ln(b)·x = a * e^k·x

k ist hier bei dann die Wachstumskonstante.

Die e-Funktion kann kann jetzt sehr leicht über die Kettenregel ableiten.

f'(x) = a * k * e^k·x

Hier braucht man also nur noch mit k multiplizieren und nicht direkt mehr einen Logarithmus bilden.

Comments

Das leuchtet ein, danke.

In welchen Fällen/Augabentypen braucht man denn die Ableitung der Exponentialfunktion?

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Auch um Steigungen, Extrempunkte, Wendepunkete etc. zu bestimmen. Also für alle Dige der Kurvendiskussion. Allerdings auch später um Integrale zu bilden.

Answer 3

q= Wachstumsfaktor

Es glit: q= e^(lnq) , lnq = Wachstumskonstante