Zeige, dass f bijektiv ist

Question

Aufgabe:

Zeige, dass f bijektiv ist

f : Z × Z → Z × Z, (x, y) → (2x + 3y, 3x + 4y).

Problem/Ansatz:

Ich möchte damit beginnen die Injektivität zu zeigen. Also setze ich f(x, y) = f (z, w) und möchte zeigen dass folgt (x, y) = (z, w)

Zunächst folgt (2x +3y , 3x + 4y) = (2z +3w , 3z + 4w)  dann kann ich die einzelnen Stellen der Tupel betrachten, also 2x+3y = 2z+3w und 3x+4y = 3z+4w

Bin ich jetzt schon fertig mit dem Beweis der Injektivität, oder muss ich noch mehr umformen um zu zeigen, dass (x,y) = (z,w) ist?
Danke im Voraus!

Answer 1

Schreibe die Abbildung in Matrixschreibweise:

(2x +3y, 3x + 4y) = (2 3.    mal den Vektor

                              3 4)

= x*(2 3)^T+y*(3 4)^T , da die beiden Vektoren linear unabhängig sind, ist der Rang der oberen Matrix gleich 2

Da die Anzahl der Spalten der Matrix gleich der Anzahl vom Rang ist, ist die Abbildung injektiv.

Keine Gewähr

Answer 2

Betrachte die Matrix$$A=\left(\begin{array}{cc}2&3\\3&4\end{array}\right)$$Dann ist \(f(x,y)^T=A\cdot (x,y)^T\). Die Matrix \(A\) ist invertierbar mit$$A^{-1}=\left(\begin{array}{rr}-4&3\\3&-2\end{array}\right)$$Mit der Abbildung \(g(x,y)^T=A^{-1}\cdot (x,y)^T\) gilt dann

\((f\circ g)(x,y)=(x,y)\) und \((g\circ f)(x,y)=(x,y)\)

für alle \((x,y)\in Z\times Z\),

d.h. \(f\) und \(g\) sind Umkehrfunktionen von einander,

also sind \(f\) und \(g\) bijektiv.