2x2 Matrixgleichung lösen

Question

Aufgabe:

$$ A:=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} $$

Nun soll ich folgende Gleichung lösen:

$$A \cdot x= x - \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}$$

Ich hoffe Ihr könnt mir hierbei weiterhelfen :)

Answer 1

\(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\cdot x=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\cdot x- \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}\), also löse

\(\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}\cdot x=\begin{pmatrix} -1\\0 \end{pmatrix}\).

Comments

Muss ich dann die Matrix mit (x1, x2)^T ausmultiplizieren und dann die zwei Gleichungen einzeln lösen oder wie geh ich da am besten vor :) ?

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komme dann auf x=(1/2, -1/2) und das sollte denke ich passen. Zumindest stimmt es, wenn ich es einsetze. Danke !

Answer 2

Hallo

multipliziere die Gleichung mit (x1,x2)^T und setze das gleich (x1-1,x2)^T

dann hast du 2 einfache Gleichungen.

Gruß lul

Answer 3

Okay, versuch's mal so: $$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1\\x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1\\x_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}$$

Comments

Danach zum Beispiel

\(\begin{pmatrix} x_1 + 2x_2 \\ 3x_1 + 4x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1\\x_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}\)

und

\(\begin{pmatrix} 2x_2 \\ 3x_1 + 3x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\\0 \end{pmatrix}\)

Answer 4

Aloha :)

$$\left.\mathbf A\cdot\vec x=\vec x-\binom{1}{0}\quad\right|\mathbf A\text{ einsetzen}$$$$\left.\left(\begin{array}{rr}1 & 2\\3 & 4\end{array}\right)\cdot\vec x=\vec x-\binom{1}{0}\quad\right|\vec x=\left(\begin{array}{rr}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right)\cdot\vec x$$$$\left.\left(\begin{array}{rr}1 & 2\\3 & 4\end{array}\right)\cdot\vec x=\left(\begin{array}{rr}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right)\cdot\vec x-\binom{1}{0}\quad\right|-\left(\begin{array}{rr}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right)\cdot\vec x$$$$\left.\left(\begin{array}{rr}1 & 2\\3 & 4\end{array}\right)\cdot\vec x-\left(\begin{array}{rr}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right)\cdot\vec x=-\binom{1}{0}\quad\right|\text{links \(\vec x\) ausklammern}$$$$\left.\left(\left(\begin{array}{rr}1 & 2\\3 & 4\end{array}\right)-\left(\begin{array}{rr}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right)\right)\cdot\vec x=-\binom{1}{0}\quad\right|\text{links Matrizen zusammenfassen}$$$$\left.\left(\begin{array}{rr}0 & 2\\3 & 3\end{array}\right)\cdot\vec x=-\binom{1}{0}\quad\right|\vec x=\binom{x_1}{x_2}$$$$\left.\left(\begin{array}{rr}0 & 2\\3 & 3\end{array}\right)\cdot\binom{x_1}{x_2}=-\binom{1}{0}\quad\right|\text{links ausrechnen}$$$$\left.\binom{0}{3}\cdot x_1+\binom{2}{3}\cdot x_2=\binom{-1}{0}\quad\right.$$

Wegen der Gleichung für die 1-te Koordinate muss \(x_2=-\frac12\) sein.

Wegen der Gleichung für die 2-te Koordinate muss dann \(x_1=\frac12\) sein.

Die Lösung ist also:\(\quad\binom{x_1}{x_2}=\frac12\binom{1}{-1}\)