Quadratische Funktion ermitteln & Wie hoch ist der Grenzsteuersatz

Question

Aufgabe:

In Österreich galten von 2009 bis 2015 folgende Tarife für die Einkommensteuer:
Jahreseinkommen: Steuer:
11.000 €                      0 €
25.000 €                     5.110 €
60.000 €                     20.235 €
Zwischen diesen Werten steigt die Steuer linear an. Der Teil des Einkommens, der
60.000 € übersteigt, wird mit 50 % besteuert.
Stell dir vor, du bist Finanzminister und willst ein neues System einführen. Für Einkommen
unter 11.000 € und über 60.000 € soll sich nichts ändern, aber dazwischen soll der
Grenzsteuersatz gleichmäßig zunehmen. (Der Grenzsteuersatz ist die Ableitung der
Steuerfunktion.)

Problem/Ansatz:

Ermittle eine quadratische Funktion, die bei 11.000 € und bei 60.000 € die gleichen
Werte hat wie jetzt, bei 60.000 € auch den gleichen Grenzsteuersatz (0,5). (Einheit: 1000 €)

b) Wie hoch ist im neuen System der Grenzsteuersatz für ein Einkommen von
11.000 €?

c) Wieviel Steuer würde man bei einem Jahreseinkommen von 20.000 € bzw. 40.000 € zahlen?

Answer 1

Ermittle eine quadratische Funktion, die bei 11.000 € und bei 60.000 € die gleichen Werte hat wie jetzt, bei 60.000 € auch den gleichen Grenzsteuersatz (0,5). (Einheit: 1000 €)

Nutze http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm zur Hilfe und Selbstkontrolle

Eigenschaften

f(11)=0
f(60)=20.253
f'(60)=0.5

Errechnete Funktion

f(x) = 4247/2401000·x² + 34543/120050·x - 8113347/2401000

b) Wie hoch ist im neuen System der Grenzsteuersatz für ein Einkommen von 11.000 €?

f'(11) = 0.32665

c) Wieviel Steuer würde man bei einem Jahreseinkommen von 20.000 € bzw. 40.000 € zahlen?

f(20) = 3.08315 GE = 3083 €

f(40) = 10.961 GE = 10961 €

Comments

Hallo,

ich habe die bsp versucht allein nochmal zu rechnen. Im vergleich zu Ihnen habe ich andere Werte herausbekommen beim bsp a) und c). Wie haben Sie bei bsp b) gerecht, dass sie auf -0,32665 gekommen sind bzw. welche rechen Schritte haben Sie dabei gefolgt ?

a) f(11)   a∙11^2+b∙11+c=0

  f(60)   a∙60^2+b∙60+c=20,235

 f'(60)  2a∙60+b=0,5
___________________________________________
TR solve: a=0,001776,b=0,286839,c=-3,37016
f(x)=0,001776∙ x^2+0,286839∙x-3,37016

b) f^' (11)= -0.32665 ?

c) f(20)=0,001776∙ 20^2+0,286839∙20-3,37016=3.07702=3077 €
  f(40)=0,001776∙ 40^2+0,286839∙40-3,37016=10.945=10945 €

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Das Gleichungssystem hast du genauso

121·a + 11·b + c = 0
3600·a + 60·b + c = 20.235
120·a + b = 0.5

Da komme ich jetzt auch auf deine Werte

a = 0.001776343190 ∧ b = 0.2868388171 ∧ c = -3.370164514

Ich hatte auch oben versehentlich einen Zahlendreher drin

f(60)=20.253

Damit sind jetzt

f'(11) = 0.3259183673
f(20) = 3.077149104
f(40) = 10.94553727

Die Ableitung bei mir ist dann

f'(x) = 0.003552686380·x + 0.2868388171

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Wie sind sie auf 0,3259183673 gekommen?

f'(11) = 0.3259183673

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Was bekommst du heraus, wenn du in die Ableitung 11 einsetzt

f'(11) = 0.003552686380·11 + 0.2868388171 = ?

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f'(11) = 0.003552686380·11 + 0.2868388171 = 0,325918 

Das Problem ist bei mir jetzt wie sie auf 0.003552686380 gekommen sind, ansonsten stimmt das Ergebnis.

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Wie bildest du denn die Ableitung der Quadratischen Funktion

f(x) = 0,001776∙x^2 + 0,286839∙x - 3,37016

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f'(x) = 2 *0,001776∙x + 0,286839

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Und was ist jetzt 2 *0.001776 ausgerechnet?

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2 *0.001776 = 0,003552 

Jetzt habe ich verstanden, danke für Ihre Hilfe!