[Urbild, Mengen] Welche Bedingung muss f erfüllen, damit f-1 injektiv ist?

Question

Hallo,
ich habe Schwierigkeiten, die Lösung der folgenden Aufgabe nachzuvollziehen:
Es sei $f: A \rightarrow B$ eine Abbildung. Zu $f$ definieren wir die Abbildung $f^{-1}: 2^{B} \rightarrow 2^{A}, M \mapsto\{a \in A \mid f(a) \in M\}$.
Für jedes $M \subseteq B$ nennt man $f^{-1}(M)$ das Urbild von $M$ (unter $f$ ).
Welche Bedingung muss $f$ erfüllen, damit $f^{-1}$ injektiv ist?
Lösung
$f$ muss surjektiv sein.

Ich habe versucht, die Aufgabe auf folgende Art und Weise zu lösen:

Ich gehe von einer Menge A :={1,2} und einer Menge B:={1,4,18} aus. Ich definiere außerdem die Menge M :={1,4,18}. Die Abbildungsvorschrift $f$ definiere ich zusätzlich als x → x².

Daraus ergibt sich für mich Folgendes: $f$ ist nicht surjektiv, da keine Zahl aus A auf die 18 abbildet. $f^{-1}$ ist allerdings injektiv, da keine zwei verschiedene Elemente aus M auf das gleiche Element in 2^A abbilden: (1,1), (4,2).
Dementsprechend komme ich nicht auf den gegebenen Lösungsvorschlag. Leider kann ich meinen Denkfehler nicht entdecken - kann mir jemand behilflich sein? Vielen Dank.

Answer 1

$f^{-1}$ ist allerdings injektiv, ...

Ist es nicht. Es ist

        $f^{-1}(\{4\}) = \{2\}$

und

$f^{-1}(\{4, 18\}) = \{2\}$.

Somit ist $f^{-1}$ nicht injektiv.

da keine zwei verschiedene Elemente aus M auf das gleiche Element in 2^A abbilden

Das ist nicht, wie Injektivität von $f^{-1}$ definiert ist.

$f^{-1}$ ist injektiv, wenn keine zwei Elemente von $2^B$ auf das gleiche Element in $2^A$ abgebildet werden.

Comments

Danke für die schnelle Antwort!

Wieso gilt

$f^{-1}(\{4, 18\}) = \{2\}$.

?

Ich dachte, man müsse für das Urbild von $f$ die Operation "umdrehen". In diesem Fall würde das ja das Wurzel ziehen bedeuten - dementsprechend verstehe ich nicht, wieso der 18 auch die 2 zugeordnet werden kann.

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wieso der 18 auch die 2 zugeordnet werden kann.

Weder der 18, noch der 4 wird durch $f^{-1}$ irgendetwas zugeordnet.

Stattdessen:

$f^{-1}: 2^{B} \rightarrow 2^{A}, M \mapsto\{a \in A \mid f(a) \in M\}$

Der Menge $\{4,18\}$ wird die Menge $\{a \in \{1,2\} \mid f(a) \in \{4,18\}\}$ zugeordnet.

Um $\{a \in \{1,2\} \mid f(a) \in \{4,18\}\}$ zu bestimmen, prüft man jedes $a\in \{1,2\}$:

• Es gilt $f(1) = 1\notin \{4,18\}$ also ist $1 \notin f^{-1}(\{4,18\})$
  
• Es gilt $f(2) = 4\in \{4,18\}$ also ist $2 \in f^{-1}(\{4,18\})$
  
• Weitere Elemente gibt es in $\{1,2\}$ nicht.

Also ist $f^{-1}(\{4, 18\}) = \{2\}$.

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Vielen Dank, jetzt habe ich es verstanden!