Aufgabe:
Im folgenden sei \( z \) komplexwertig. Die Standarddarstellung ist durch \( z=x+i y \) und die Polardarstellung durch \( z=|z| e^{i \varphi} \) mit \( \varphi \in(-\pi, \pi] \) gegeben. Der Parameter \( \alpha \geq 0 \) sei reellwertig.
b) Skizzieren Sie, wie die Nullstellen aus Teilaufgabe a) als Funktion von \( \alpha \in[0, \infty) \) in der komplexen Ebene wandern. Es ist hilfreich, zuerst die Nullstellen für \( \alpha=0, \alpha=1 \), und für \( \alpha \rightarrow \infty \) in die komplexe Ebene einzuzeichnen.
*Lösung*
a) \( z^{2}+2 i \alpha z-1=0 \) für reelles \( \alpha \geq 0 \) hat Lösungen \( (2 \mathrm{P}) \)
\( z_{\pm}=-i \alpha \pm \sqrt{1-\alpha^{2}}=\left\{\begin{array}{cc} -i \alpha \pm \sqrt{1-\alpha^{2}}, & 0 \leq \alpha \leq 1 \\ i\left[-\alpha \pm \sqrt{\alpha^{2}-1}\right], & \alpha>1 . \end{array}\right. \)
Beachte: bei \( \alpha=1 \) fallen beide Lsg. zusammen.
b) Bei \( \alpha=0 \) ist \( z_{\pm}=\pm 1 \) rein reell. Für \( \alpha \leq 1 \) findet \( \operatorname{man}\left|z_{\pm}\right|=1 \), d.h. Bewegung auf Einheitskreis. Bei \( \alpha=1 \) ist \( z_{\pm}=-i \), d.h. beide Nullstellen wandern von \( z_{\pm}(\alpha=0)=\pm 1 \) hin zu \( z_{\pm}=-i \). Bei \( \alpha>1 \) Bewegung entlang der imaginären Achse. Dabei läuft \( z_{-} \)für \( \alpha \rightarrow \infty \) nach \( z_{-} \rightarrow-i \infty \), aber \( z_{+} \rightarrow 0 \).
Moin, bin gerade am lernen und habe ein kleines Problem bei der Zeichnung. Ich verstehe zwar die Lösung und auch wie man draufgekommen ist, allerdings weiß ich leider nicht, sie ich es zeichnen soll. Kann mir da jemand helfen und möglicherweise zeigen, es wie es aussehen soll? Danke im voraus!
