Berechnen Sie die Größe der Fläche des Sees.

Question

Aufgabe:

Das Ufer eines Sees kann im Süden durch den Graphen der Funktion f mit f(x)= (0,5-x) e^2-x

und im größeren, restlichen Bereich durch den Graphen einer quadratischen Funktion p mathematisch

modelliert werden. Der Zufluss zum See wird durch den Punkt Z dargestellt. In der Darstellung liegt der

Scheitelpunkt des Graphen von p bei S (3,5 / 5). Der Graph von p schneidet den Graphen von f im Punkt

Z (0,5 / f(0,5)).

Teil 1:

Weisen Sie nach, das p(x) = -5/9x² + 35/9x -65/36 eine Funktionsgleichung von p ist ?

(Was genau muss ich da denn machen?)

Teil 2:

Berechnen Sie die Größe der Fläche des Sees.

(Es sind ja Flächen oberhalb der x-Achse f(x)  und unterhalb der x-Achse p(x). Beide Addiere ich dann, wenn ich jeweils die Stammfunktion gebildet habe. Bräuchte aber bei der Aufstellung der Gleichung ein bisschen Hilfe)

Answer 1

Scheitelpunkt des Graphen von p bei S (3,5 / 5). Der Graph von p schneidet den Graphen von f im Punkt  Z (0,5 / f(0,5)).

Teil 1:

Weisen Sie nach, das p(x) = -5/9x2 + 35/9x -65/36 eine Funktionsgleichung von p ist ?

(Was genau muss ich da denn machen?)

Ansatz quadratische Funktion mit Scheitelpunkt S (3,5 / 5). p(x)=a*(x-3,5)^2 +5

Z (0,5 / f(0,5))  =  Z (0,5 / 0). Also auch p(0,5)=0

               ==>   a*(0,5-3,5)^2 +5 = 0

             ==>  a*9=  -5     ==>  a= -5/9

     ==>   p(x= (-5/9)*(x-3,5)^2 +5 =  (-5/9)x^2 + (35/9)x -65/36

Stammfunktionen für die beiden sind z.B.

F(x)=(x+0,5)*e^(2-x)    geht mit partieller Integration

P(x)=(-5/27)x^3+(35/18)x^2-(65/36)x

Comments

Vielen Dank. Das habe ich so verstanden.

Kannst du mir beim 2ten Teil auch helfen?

---

Wo liegt den die östliche Grenze des Sees ?

---

Die Grenze im Osten ist die 2te Nullstelle der Funktion p(x), bei der der Scheitelpunkt gegeben ist. (In der uns gegeben Skizze sind die Nullstellen bei x1=0,5 und x2=6,5.)

Passt auch, wenn ich die Nullstellen berechne.

---

Na dann musst du doch nur noch integrieren.